정사각형 도형의 등비급수

그림과 같이 한 변의 길이가 $5$인 정사각형 $\mathrm{ABCD}$의 대각선 $\mathrm{BD}$의 $5$등분점을 점 $\mathrm{B}$에서 가까운 순서대로 각각 $\mathrm{P} _{1}$, $\mathrm{P} _{2}$, $\mathrm{P} _{3}$, $\mathrm{P} _{4}$라 하고, 선분 $\mathrm{BP} _{1}$, $\mathrm{P} _{2} P _{3}$, $\mathrm{P} _{4} D$를 각각 대각선으로 하는 정사각형과 선분 $\mathrm{P} _{1} P _{2}$, $\mathrm{P} _{2} P _{3}$를 각각 지름으로 하는 원을 그린 후, 모양의 도형에 색칠하여 얻은 그림을 $R _{1}$이라 하자. 그림 $R _{1}$에서 선분 $\mathrm{P} _{2} P _{3}$을 대각선으로 하는 정사각형의 꼭짓점 중 점 $\mathrm{A}$와 가장 가까운 점을 $\mathrm{Q} _{1}$, 점 $\mathrm{C}$와 가장 가까운 점을 $\mathrm{Q} _{2}$라 하자. 선분 $\mathrm{AQ} _{1}$을 대각선으로 하는 정사각형과 선분 $\mathrm{CQ} _{2}$를 대각선으로 하는 정사각형을 그리고, 새로 그려진 $2$개의 정사각형 안에 그림 $R _{1}$을 얻는 것과 같은 방법으로 모양의 도형을 각각 그리고 색칠하여 얻은 그림을 $R _{2}$라 하자. 그림 $R _{2}$에서 선분 $\mathrm{AQ} _{1}$을 대각선으로 하는 정사각형과 선분 $\mathrm{CQ} _{2}$를 대각선으로 하는 정사각형에 그림 $R _{1}$에서 그림 $R _{2}$를 얻는 것과 같은 방법으로 모양의 도형을 각각 그리고 색칠하여 얻은 그림을 $R _{3}$이라 하자. 이와 같은 과정을 계속하여 $n$번째 얻은 그림 $R _{n}$에 색칠되어 있는 부분의 넓이를 $S _{n}$이라 할 때, $\displaystyle \lim\limits _{n\rightarrow \infty} {S _{n}}$의 값은? [3점]

①$\displaystyle \frac{24}{17} ( \pi + 3 )$②$\displaystyle \frac{25}{17} ( \pi + 3 )$③$\displaystyle \frac{26}{17} ( \pi + 3 )$④$\displaystyle \frac{24}{17} ( 2 \pi + 1 )$⑤$\displaystyle \frac{27}{17} ( 2 \pi + 1 )$