미적분Ⅱ수열의 극한수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

정사각형 도형 극한

문제

[그림 11]과 같이 한 개의 넓이가 11인 정사각형 55개로 이루어진 모양의 도형에서 네 꼭짓점을 연결하여 만든 정사각형의 넓이를 S1S _{1}이라 하자. [그림 22]와 같이 [그림 11]의 모양의 도형에 한 개의 넓이가 11인 정사각형 44개를 붙여 만든 모양의 도형에서 네 꼭짓점을 연결하여 만든 정사각형의 넓이를 S2S _{2}라 하자. [그림 33]과 같이 [그림 22]의 모양의 도형에 한 개의 넓이가 11인 정사각형 44개를 붙여 만든 모양의 도형에서 네 꼭짓점을 연결하여 만든 정사각형의 넓이를 S3S _{3}이라 하자. 이와 같은 과정을 계속하여 nn번째 얻어진 모양의 도형에서 네 꼭짓점을 연결하여 만든 정사각형의 넓이를 SnS _{n}이라 할 때, lim⁡n→∞10Snn2\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {} \frac{10 S _{n}}{n ^{2}}의 값을 구하시오. [4점]

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2020

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해설

[출제의도] 도형의 규칙성을 파악하여 극한값 구하기

Sn=2n(n+1)+1=2n2+2n+1S _{n} = 2 n ( n + 1 ) + 1 = 2 n ^{2} + 2 n + 1 ∴ lim⁡n→∞10Snn2=lim⁡n→∞10(2n2+2n+1)n2=20\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {\frac{10 S _{n}}{n ^{2}} = \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {\frac{10 ( 2 n ^{2} + 2 n + 1 )}{n ^{2}}} = 20}

태그

#수열의극한#도형#규칙

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