미적분Ⅱ정적분의 활용수능 기출기본 문제 (3점 중반)

정사각형 단면 입체 부피

문제

그림과 같이 곡선 y=2x\displaystyle y = \frac{2}{\sqrt{x}}와 xx축 및 두 직선 x=1x = 1, x=4x = 4로 둘러싸인 부분을 밑면으로 하고 xx축에 수직인 평면으로 자른 단면이 모두 정사각형인 입체도형의 부피는? [3점]

①6ln⁡26 \ln 2②7ln⁡27 \ln 2③8ln⁡28 \ln 2④9ln⁡29 \ln 2⑤10ln⁡210 \ln 2

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③

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해설

[출제의도] 정적분을 이용하여 입체도형의 부피를 구한다. xx좌표가 tt(1≤t≤41 \leq t \leq 4)인 점을 지나고 xx축에 수직인 평면으로 입체도형을 자른 단면의 넓이를 S(t)S ( t )라 하면 S(t)=(2t)2=4t\displaystyle S ( t ) = \left( \frac{2}{\sqrt{t}} \right) ^{2} = \frac{4}{t} 따라서 구하는 부피는 ∫14S(t)dt\displaystyle \int _{1} ^{4} {S ( t )} dt=∫144tdt\displaystyle = \int _{1} ^{4} {\frac{4}{t}} dt=[4ln⁡t]14\displaystyle = \left[ \begin{array}{l} 4 \ln t \begin{matrix} \\ \end{matrix} \end{array} \right] _{1} ^{4}=8ln⁡2= 8 \ln 2

태그

#입체도형의 부피

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