정사각형 닮음 급수

[출제의도] 무한급수를 활용하여 추론하기 그림과 같이 $n$번째 정사각형 $\mathrm{A} _{\mathit{n}} B _{\mathit{n}} C _{\mathit{n}} D _{\mathit{n}}$의 한 변의 길이를 $a _{n}$이라 하자.

$\displaystyle 3 a _{n+1} = \sqrt{2} a _{n}$, $\displaystyle a _{n+1} = \frac{\sqrt{2}}{3} a _{n}$이므로 $\displaystyle S _{n+1} = \frac{2}{9} S _{n}$ $\mathrm{\triangle} A _{1} B _{1} E _{1} \backsim \triangle B _{1} G _{1} E _{1}$에서 $\displaystyle \mathrm{\overline{A _{1} E _{1}}} : \overline{B _{1} E _{1}} = \sqrt{5} : 1$이므로 $\mathrm{\triangle} A _{1} B _{1} E _{1} : \triangle B _{1} G _{1} E _{1} = 5 : 1$ $\therefore$ $\displaystyle \triangle \mathrm{B} _{1} G _{1} E _{1} = \frac{1}{5}$ 점 $\mathrm{B} _{2}$는 $\mathrm{\triangle} B _{1} C _{1} D _{1}$의 무게중심이므로 $\displaystyle \mathrm{\triangle} C _{1} F _{1} B _{2} = \frac{1}{6} \triangle B _{1} C _{1} D _{1} = \frac{1}{3}$ $\mathrm{\triangle} A _{1} E _{1} C _{1}$과 $\mathrm{\triangle} B _{1} C _{1} F _{1}$의 공통부분이 $\mathrm{\square} E _{1} C _{1} B _{2} G _{1}$이고, $\mathrm{\triangle} A _{1} E _{1} C _{1} = \triangle B _{1} C _{1} F _{1}$이므로 $\displaystyle \mathrm{\triangle} A _{1} G _{1} B _{2} = \triangle B _{1} E _{1} G _{1} + \triangle C _{1} F _{1} B _{2} = \frac{1}{5} + \frac{1}{3} = \frac{8}{15}$ $S _{1} = \mathrm{\triangle} A _{1} G _{1} B _{2} + \triangle B _{1} E _{1} G _{1} + \triangle C _{1} F _{1} B _{2}$ $\displaystyle = 2 \mathrm{\triangle} A _{1} G _{1} B _{2} = \frac{16}{15}$ 따라서 수열 $\left\{ S _{n} \right\}$은 첫째항이 $\displaystyle \frac{16}{15}$이고 공비가 $\displaystyle \frac{2}{9}$인 등비수열이므로 $\displaystyle \sum\limits _{n = 1} ^{\infty} S _{n} = \frac{\frac{16}{15}}{1 - \frac{2}{9}} = \frac{48}{35}$이다.

[참고] $\square \mathrm{A} _{\mathit{n} + 1} B _{\mathit{n} + 1} C _{\mathit{n} + 1} D _{\mathit{n} + 1}$은 정사각형이다.

정사각형 $\mathrm{A} _{\mathit{n}} B _{\mathit{n}} C _{\mathit{n}} D _{\mathit{n}}$에서 두 선분 $\mathrm{A} _{\mathit{n}} C _{\mathit{n}}$, $\mathrm{C} _{\mathit{n} + 1} D _{\mathit{n} + 1}$이 선분 $\mathrm{B} _{\mathit{n}} D _{\mathit{n}}$과 만나는 점을 각각 $\mathrm{M}$, $\mathrm{N}$이라 하자. $\mathrm{\triangle} B _{\mathit{n} + 1} C _{\mathit{n}} C _{\mathit{n} + 1}$이 직각이등변삼각형이므로 $\displaystyle \mathrm{\overline{B _{\mathit{n} + 1} C _{\mathit{n} + 1}}} = \overline{C _{\mathit{n}} B _{\mathit{n} + 1}}$이고 점 $\mathrm{B} _{\mathit{n} + 1}$은 $\mathrm{\triangle} B _{\mathit{n}} C _{\mathit{n}} D _{\mathit{n}}$의 무게중심이므로 $\displaystyle \mathrm{\overline{C _{\mathit{n}} B _{\mathit{n} + 1}}} = 2 \overline{B _{\mathit{n} + 1} M}$ $\therefore$ $\displaystyle \mathrm{\overline{B _{\mathit{n} + 1} C _{\mathit{n} + 1}}} = 2 \overline{B _{\mathit{n} + 1} M}$ $\cdots \cdots \text{㉠}$ $\mathrm{\angle} B _{\mathit{n} + 1} = \angle C _{\mathit{n} + 1} = 90 ^\circ$, $\displaystyle \mathrm{\overline{A _{\mathit{n}} C _{\mathit{n}}}} \perp \overline{B _{\mathit{n}} D _{\mathit{n}}}$로 $\mathrm{\square} MB _{\mathit{n} + 1} C _{\mathit{n} + 1} N$이 직사각형이므로 $\displaystyle \mathrm{\overline{B _{\mathit{n} + 1} M}} = \overline{C _{\mathit{n} + 1} N}$, $\mathrm{\triangle} NC _{\mathit{n} + 1} D _{\mathit{n}}$과 $\mathrm{\triangle} ND _{\mathit{n}} D _{\mathit{n} + 1}$이 직각이등변삼각형이므로 $\displaystyle \mathrm{\overline{C _{\mathit{n} + 1} N}} = \overline{ND _{\mathit{n} + 1}}$ $\cdots \cdots \text{㉡}$ ㉠, ㉡에 의하여 $\displaystyle \mathrm{\overline{B _{\mathit{n} + 1} C _{\mathit{n} + 1}}} = \overline{C _{\mathit{n} + 1} D _{\mathit{n} + 1}}$ 따라서 $\square \mathrm{A} _{\mathit{n} + 1} B _{\mathit{n} + 1} C _{\mathit{n} + 1} D _{\mathit{n} + 1}$은 정사각형