정사각형 빈칸 추론

[출제의도] 직선의 방정식을 활용하여 추론하기 두 점 $\mathrm{B} \left( - 3 , 0 \right)$과 $\mathrm{D} \left( 1 , 3 \right)$을 지나는 직선의 기울기는 $\displaystyle \frac{3}{4}$이므로 점 $\mathrm{A} \left( - 1 , 4 \right)$를 지나고 두 점 $\mathrm{B}$와 $\mathrm{D}$를 지나는 직선에 수직인 직선 $l _{1}$의 방정식은 $\displaystyle y = \square {- \frac{4}{3} x + \frac{8}{3}}$이다. 점 $\mathrm{A} \left( - 1 , 4 \right)$를 중심으로 하고 반지름의 길이가 $\displaystyle \mathrm{\overline{BD}} = 5$인 원을 $C$라 하면 $C : \left( x + 1 \right) ^{2} + \left( y - 4 \right) ^{2} = 25$

연립방정식 $\displaystyle {\begin{cases} \begin{matrix} \\ \end{matrix} y = - \frac{4}{3} x + \frac{8}{3} \\ \begin{matrix} \\ \end{matrix} ( x + 1 ) ^{2} + ( y - 4 ) ^{2} = 25 \end{cases}}$의 해는 $\displaystyle {\begin{cases} x = 2 \\ y = 0 \end{cases}}$ 또는 $\displaystyle {\begin{cases} x = - 4 \\ y = 8 \end{cases}}$ 이므로 원 $C$와 직선 $l _{1}$이 만나는 두 점의 좌표는 $\left( 2 , 0 \right)$, $\left( - 4 , 8 \right)$ 두 점 중 점 $\mathrm{C} \left( 0 , - 2 \right)$와의 거리가 더 작은 점이 $\mathrm{E}$이므로 점 $\mathrm{E}$의 좌표는 $\left( 2 , 0 \right)$ 두 점 $\mathrm{C} \left( 0 , - 2 \right)$와 $\mathrm{E} \left( 2 , 0 \right)$을 지나는 직선을 $l _{2}$라 하면 직선 $l _{2}$의 방정식은 $y = \square {x - 2}$이다.

두 점 $\mathrm{B}$와 $\mathrm{D}$에서 직선 $l _{2}$에 내린 수선의 발을 각각 $\mathrm{R}$, $\mathrm{S}$라 하자. 직선 $l _{2} :$$y = x - 2$의 기울기가 $1$이므로 점 $\mathrm{B} \left( \mathit{-} 3 , 0 \right)$을 지나고 직선 $l _{2}$에 수직인 직선의 방정식은 $y = - x - 3$ 이를 직선 $l _{2}$의 방정식과 연립하여 풀면 $\displaystyle \mathrm{R} \left( - \frac{1}{2} , - \frac{5}{2} \right)$ 점 $\mathrm{D} \left( 1 , 3 \right)$을 지나고 직선 $l _{2}$에 수직인 직선의 방정식은 $y = - x + 4$ 이를 직선 $l _{2}$의 방정식과 연립하여 풀면 $\mathrm{S} \left( 3 , 1 \right)$ 점 $\mathrm{A} \left( - 1 , 4 \right)$를 지나고 직선 $l _{2}$와 평행한 직선을 $l _{3}$이라 하면 직선 $l _{3}$의 방정식은 $y = x + 5$ 두 점 $\mathrm{B}$와 $\mathrm{D}$에서 직선 $l _{3}$에 내린 수선의 발을 각각 $\mathrm{Q}$, $\mathrm{P}$라 하자. 직선 $l _{3} :$$y = x + 5$의 기울기가 $1$이므로 점 $\mathrm{B} \left( - 3 , 0 \right)$을 지나고 직선 $l _{3}$에 수직인 직선의 방정식은 $y = - x - 3$ 이를 직선 $l _{3}$의 방정식과 연립하여 풀면 $\mathrm{Q} \left( - 4 , 1 \right)$ 점 ${\mathrm{D}} \left( 1 , 3 \right)$을 지나고 직선 $l _{3}$에 수직인 직선의 방정식은 $y = - x + 4$ 이를 직선 $l _{3}$의 방정식과 연립하여 풀면 $\displaystyle \mathrm{P} \left( - \frac{1}{2} , \frac{9}{2} \right)$ 사각형 $\mathrm{PQRS}$는 네 점 $\mathrm{A}$, $\mathrm{B}$, $\mathrm{C}$, $\mathrm{D}$가 각각 네 변 $\mathrm{PQ}$, $\mathrm{QR}$, $\mathrm{RS}$, $\mathrm{SP}$ 위에 있고 한 변의 길이가 $\displaystyle \mathrm{\overline{PQ}} = {\overline{QR}} = {\square {\frac{7 \sqrt{2}}{2}}}$ 인 정사각형이다. $\displaystyle f \left( x \right) = - \frac{4}{3} x + \frac{8}{3}$ , $g \left( x \right) = x - 2$ , $\displaystyle \alpha = \frac{7 \sqrt{2}}{2}$ 따라서 $\displaystyle \frac{3}{4} f \left( \alpha \right) - g \left( \alpha \right) = 4 - 7 \sqrt{2}$