정사각형 벡터 크기

[출제의도] 이해능력-평면벡터 정사각형 $ABCD$의 두 대각선의 교점을 $E$라 하면 ${\vec{OA}} + {\vec{OC}} = 2 {\vec{OE}}$이므로 ${\vec{OE}} = ( 3 , 0 )$

선분 $CD$의 중점을 $F ( a , b )$라 하면 ${\vec{OA}} - {\vec{OB}} = {\vec{BA}} = ( - 4 , 2 )$이고 ${\vec{BA}} \perp {\vec{EF}}$이므로 $( - 4 , 2 ) \bullet ( a - 3 , b ) = 0$ $- 4 ( a - 3 ) + 2 b = 0$ $b = 2 a - 6$ $\displaystyle \left| {\vec{BA}} \right| = \sqrt{16 + 4} = 2 \sqrt{5}$이므로 $\displaystyle \left| {\vec{EF}} \right| = \sqrt{5}$ $( a - 3 ) ^{2} + b ^{2} = 5 , ( a - 3 ) ^{2} + ( 2 a - 6 ) ^{2} = 5$ $a ^{2} - 6 a + 8 = 0 , ( a - 2 ) ( a - 4 ) = 0$ $a = 2$또는 $a = 4$ 점 $A$의 $y$좌표가 점 $D$의 $y$좌표보다 작고 직선 $AB$의 기울기가 음수이므로 점 $F$의 $x$좌표는 점 $E$의 $x$좌표보다 크다. 따라서 점 $E$의 $x$좌표가 3이므로 점 $F$의 $x$좌표는 4이다. $F ( 4 , 2 )$이므로 $\displaystyle \left| {\vec{OC}} + {\vec{OD}} \right| = 2 \left| {\vec{OF}} \right| = 2 \times \sqrt{16 + 4} = 4 \sqrt{5}$ 따라서 $\left| {\vec{OC}} + {\vec{OD}} \right| ^{2} = 80$