미적분Ⅱ급수수능 기출심화 문제 (4점 중반 이후, 킬러 직전)

정사각형 반원 등비급수

문제

그림과 같이 한 변의 길이가 44인 정사각형 ABCD\mathrm{ABCD}의 내부에 지름의 양 끝점이 각각 변 BC\mathrm{BC}, 변 CD\mathrm{CD}위에 있고, 지름이 선분 BD\mathrm{BD}와 평행한 반원을 내접하게 그린다. 이 반원의 중심을 O1\mathrm{O} _{1}이라 하고 반원이 두 변 AB\mathrm{AB}, AD\mathrm{AD}와 만나는 점을 각각 P1\mathrm{P} _{1}, Q1\mathrm{Q} _{1}이라 하자. 중심이 A\mathrm{A}, 반지름이 선분 AP1\mathrm{AP} _{1}, 중심각이 ∠P1AQ1\angle \mathrm{P} _{1} AQ _{1}인 부채꼴의 내부와 이 반원의 내부의 공통부분인 모양의 도형에 색칠하여 얻은 그림을 R1R _{1}이라 하자. 그림 R1R _{1}에 있는 점 O1\mathrm{O} _{1}에서 두 변 BC\mathrm{BC}, CD\mathrm{CD} 위에 내린 수선의 발을 각각 B1\mathrm{B} _{1}, D1\mathrm{D} _{1}이라 하고 네 점 O1\mathrm{O} _{1}, B1\mathrm{B} _{1}, C\mathrm{C}, D1\mathrm{D} _{1}을 꼭짓점으로 하는 정사각형 O1B1CD1\mathrm{O} _{1} B _{1} CD _{1}을 그린다. 정사각형 O1B1CD1\mathrm{O} _{1} B _{1} CD _{1}에 그림 R1R _{1}을 얻은 것과 같은 방법으로 만들어지는 모양의 도형에 색칠하여 얻은 그림을 R2R _{2}라 하자. 이와 같은 과정을 계속하여 nn번째 얻은 그림 RnR _{n}에 색칠되어 있는 부분의 넓이를 SnS _{n}이라 할 때, lim⁡n→∞Sn=(p2−q)(π−2)\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {} S _{n} = \left( p \sqrt{2} - q \right) \left( \pi - 2 \right)이다. 두 유리수 pp, qq에 대하여 p+qp + q의 값은? [4점]

⋯\cdots ⋯\cdots

①1515②1616③1717④1818⑤1919

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②

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해설

[출제의도] 등비급수를 이용하여 도형 문제 추론하기 첫 번째 반원이 변 BC\mathrm{BC}와 만나는 점을 R\mathrm{R}, 변 CD\mathrm{CD}와 만나는 점을 S\mathrm{S}, 반지름의 길이를 r1r _{1}이라 하자.

삼각형 RCS\mathrm{RCS}는 직각이등변삼각형이고 점 O1\mathrm{O} _{1}은 빗변의 중점이므로 CO1‾=SO1‾=RO1‾=r1\displaystyle {\overline{\mathrm{CO} _{1}}} = {\overline{\mathrm{SO} _{1}}} = {\overline{\mathrm{RO} _{1}}} = r _{1}이다. AC‾=AO1‾+CO1‾\displaystyle {\overline{\mathrm{AC}}} = {\overline{\mathrm{AO} _{1}}} + {\overline{\mathrm{CO} _{1}}}이므로 42=r12+r1\displaystyle 4 \sqrt{2} = r _{1} \sqrt{2} + r _{1}이다. 따라서 r1=4(2−2)\displaystyle r _{1} = 4 ( 2 - \sqrt{2} )이고, S1=2×(14πr12−12r12)=16(π−2)(2−1)2\displaystyle S _{1} = 2 \times \left( \frac{1}{4} \pi r _{1} ^{2} - \frac{1}{2} r _{1} ^{2} \right) = 16 ( \pi - 2 ) ( \sqrt{2} - 1 ) ^{2}이다. 그림 RnR _{n}에서 가장 작은 반원의 반지름의 길이를 rnr _{n}이라 하고, 그림 RnR _{n}을 얻은 과정에서 새로 얻은 모양의 넓이를 ana _{n}이라 하자.

Dn−1\mathrm{D} _{\mathit{n} - 1} On\mathrm{O} _{\mathit{n}} Dn\mathrm{D} _{\mathit{n}} Bn\mathrm{B} _{\mathit{n}} On+1\mathrm{O} _{\mathit{n} + 1} On−1\mathrm{O} _{\mathit{n} - 1} Pn+1\mathrm{P} _{\mathit{n} + 1} Qn+1\mathrm{Q} _{\mathit{n} + 1} Qn\mathrm{Q} _{\mathit{n}} Pn\mathrm{P} _{\mathit{n}} Bn−1\mathrm{B} _{\mathit{n} \mathrm{-} 1} rn\mathrm{r} _{\mathit{n}} rn\mathrm{r} _{\mathit{n}} rn\mathrm{r} _{\mathit{n}} rn\mathrm{r} _{\mathit{n}} rn+1r _{\mathit{n} + 1}

OnC‾=OnOn+1‾+On+1C‾\displaystyle {\overline{\mathrm{O} \mathit{\mathrm{_{n}}} \mathrm{C}}} \mathrm{=} {\overline{\mathrm{O} \mathit{\mathrm{_{n}}} \mathrm{O} \mathit{\mathrm{_{n + 1}}}}} + {\overline{\mathrm{O} \mathit{\mathrm{_{n + 1}}} \mathrm{C} \mathit{}}}이므로 rn=2rn+1+rn+1\displaystyle r _{n} = \sqrt{2} r _{n + 1} + r _{n + 1} rn+1=(2−1)rn\displaystyle r _{n + 1} = \left( \sqrt{2} - 1 \right) r _{n}이다. 그러므로 an+1:an=(2−1)2:12\displaystyle a _{n + 1} : a _{n} = \left( \sqrt{2} - 1 \right) ^{2} : 1 ^{2}에서 an+1=(2−1)2an\displaystyle a _{n + 1} = \left( \sqrt{2} - 1 \right) ^{2} a _{n}이다. 따라서 수열 {an}\left\{ a _{n} \right\}은 첫째항이 16(π−2)(2−1)2\displaystyle 16 ( \pi - 2 ) ( \sqrt{2} - 1 ) ^{2}이고 공비가 (2−1)2\displaystyle \left( \sqrt{2} - 1 \right) ^{2}인 등비수열이므로 lim⁡n→∞Sn=∑n=1∞an=16(2−1)2(π−2)1−(2−1)2=16(2−1)2(π−2)2(2−1)\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {S _{n}} = \sum\limits _{n = 1} ^{\infty} a _{n} = \frac{16 \left( \sqrt{2} - 1 \right) ^{2} \left( \pi - 2 \right)}{1 - \left( \sqrt{2} - 1 \right) ^{2}} = \frac{16 \left( \sqrt{2} - 1 \right) ^{2} \left( \pi - 2 \right)}{2 \left( \sqrt{2} - 1 \right)} =(82−8)(π−2)\displaystyle = \left( 8 \sqrt{2} - 8 \right) \left( \pi - 2 \right) 이다. 따라서 p=q=8p = q = 8이므로 p+q=16p + q = 16이다.

태그

#등비급수#도형의 넓이

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