기하공간도형과 공간좌표수능 기출심화 문제 (4점 중반 이후, 킬러 직전)

정팔면체 정사영 넓이

문제

그림과 같이 한 변의 길이가 22인 정팔면체 ABCDEF\mathrm{ABCDEF}가 있다. 두 삼각형 ABC\mathrm{ABC}, CBF\mathrm{CBF}의 평면 BEF\mathrm{BEF} 위로의 정사영의 넓이를 각각 S1S _{1}, S2S _{2}라 할 때, S1+S2S _{1} + S _{2}의 값은? [4점]

①233\displaystyle \frac{2 \sqrt{3}}{3}②3\displaystyle \sqrt{3}③433\displaystyle \frac{4 \sqrt{3}}{3}④533\displaystyle \frac{5 \sqrt{3}}{3}⑤23\displaystyle 2 \sqrt{3}

정답 보기
①

자료 내려받기

아직 올라온 파일이 없습니다.

해설

[출제의도] 정사영의 성질을 이해하여 넓이를 구한다.

선분 AC\mathrm{AC}와 EF\mathrm{EF}의 중점을 각각 M\mathrm{M}, N\mathrm{N}이라 하면 사각형 AEFC\mathrm{AEFC}가 정사각형이므로 MN‾=2\displaystyle \mathrm{\overline{MN}} = 2 BM‾=BN‾=3\displaystyle \mathrm{\overline{BM}} = {\overline{BN}} = \sqrt{3} cos⁡(∠MBN)\cos \left( \angle \mathrm{MBN} \right)=(3)2+(3)2−222×3×3=13\displaystyle = \frac{( \sqrt{3} ) ^{2} + ( \sqrt{3} ) ^{2} - 2 ^{2}}{2 \times \sqrt{3} \times \sqrt{3}} = \frac{1}{3}이므로 S1S _{1}=(34×22)×13=33\displaystyle = \left( \frac{\sqrt{3}}{4} \times 2 ^{2} \right) \times \frac{1}{3} = \frac{\sqrt{3}}{3} 두 평면 BEF\mathrm{BEF}와 CBF\mathrm{CBF}가 이루는 각의 크기는 두 평면 ACD\mathrm{ACD}와 ABC\mathrm{ABC}가 이루는 각의 크기와 같다. 평면 BEF\mathrm{BEF}와 평면 ACD\mathrm{ACD}가 평행하므로 S2=S1S _{2} = S _{1}=33\displaystyle = \frac{\sqrt{3}}{3} ∴\thereforeS1+S2=233\displaystyle S _{1} + S _{2} = \frac{2 \sqrt{3}}{3}

태그

#정사영#정팔면체

비슷한 문제 더 보기

기하 문제 모음기하 공간도형과 공간좌표 문제 모음수능 문제 모음심화 문제 모음
← 전체 문제 목록으로