정팔면체 단면 넓이

주어진 정팔면체와 평면 $x + y + z = 0$이 $xy$평면에서 만나는 점은 $\mathrm{A} ( - 1 , 1 , 0 )$, $\mathrm{B} ( 1 , - 1 , 0 )$ $yz$평면에서 만나는 점은 $\mathrm{C} ( 0 , - 1 , 1 )$, $\mathrm{D} ( 0 , 1 , - 1 )$ $zx$평면에서 만나는 점은 $\mathrm{E} ( - 1 , 0 , 1 )$, $\mathrm{F} ( 1 , 0 , - 1 )$이다. 따라서 주어진 정팔면체와 평면 $x + y + z = 0$이 만나서 생기는 도형은 육각형 $\mathrm{ADFBCE}$이다. 점 $\mathrm{C}$, $\mathrm{D}$, $\mathrm{E}$, $\mathrm{F}$를 $xy$평면에 정사영한 점을 각각 $\mathrm{C}'$, $\mathrm{D}'$, $\mathrm{E}'$, $\mathrm{F}'$라 하면 육각형 $\mathrm{AD}' F' BC' E'$의 넓이는 $3$이다.

$xy$평면과 평면 $x + y + z = 0$이 이루는 각을 $\theta$라 하면 $\displaystyle \cos \theta = \frac{( 0 , 0 , 1 ) \cdot ( 1 , 1 , 1 )}{1 \cdot \sqrt{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}}$이므로 $\displaystyle 3 = S \cos \theta = \frac{S}{\sqrt{3}}$ ∴ $\displaystyle S = 3 \sqrt{3}$ ∴ $S ^{2} = 27$