공통수학1이차방정식수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

정오각형 대각선 길이

문제

한 변의 길이가 $1$ 인 정오각형 $ABCDE$ 에서 두 대각선 $AD$ 와 $EC$ 의 교점을 $P$ 라 하면 $\displaystyle \overline{AD} : \overline{AP} = \overline{AP} : \overline{PD}$ 가 성립한다. $\displaystyle \overline{AD}$ 의 길이를 소수점 아래 둘째 자리까지 구하시오. (단, $\displaystyle \sqrt{5}$ 는 $2.24$ 로 계산한다.) [4점]

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1.62

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해설

[출제의도] 주어진 조건을 활용하여 이차방정식의 해를 구할 수 있다.

정오각형 $ABCDE$ 에서, $AD / / BC , AB / / EC$ 이므로, $\square ABCP$ 는 평행사변형 $\displaystyle \therefore \overline{AP} = \overline{BC} = \overline{AE} = 1$ $\displaystyle \overline{AD} = x$ 라 하면, $\displaystyle \overline{PD} = x - 1$ $\displaystyle \overline{AD} : \overline{AP} = \overline{AP} : \overline{PD}$ $x : 1 = 1 : ( x - 1 )$ $1 = x ( x - 1 )$ $x ^{2} - x - 1 = 0$ $\displaystyle x = \frac{1 + \sqrt{5}}{2} = 1.62 ( \because x > 0 )$ $\displaystyle \therefore \overline{AD} = 1.62$

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