정오각형 대각선

[출제의도] 다항식의 연산을 이용하여 도형 문제 해결하기 정오각형의 한 내각의 크기는 $\displaystyle \frac{180 ^\circ \times 3}{5} = 108 ^\circ$이다. $\triangle \mathrm{ABE}$는 이등변삼각형이고 $\angle \mathrm{BAE} = 108 ^\circ$이므로 $\angle \mathrm{ABE} = 36 ^\circ$이다. $\triangle \mathrm{BAC}$는 이등변삼각형이고 $\angle \mathrm{ABC} = 108 ^\circ$이므로 $\angle \mathrm{BAC} = 36 ^\circ$이다. $\angle \mathrm{BAP} = \angle \mathrm{ABP} = 36 ^\circ$이므로 $\angle \mathrm{APB} = 108 ^\circ$이고 $\angle \mathrm{APE} = 72 ^\circ$이고 $\angle \mathrm{EAP} = 72 ^\circ$이다. $\mathrm{\triangle} APE$는 이등변삼각형이므로 $\displaystyle \mathrm{\overline{PE}} = 1$이다. $\displaystyle {\overline{\mathrm{BE}}}$$:$$\displaystyle {\overline{\mathrm{PE}}}$$=$$\displaystyle {\overline{\mathrm{PE}}}$$:$$\displaystyle {\overline{\mathrm{BP}}}$ $x : 1 = 1 : \left( x - 1 \right)$ $x \left( x - 1 \right) = 1$, $x ^{2} - x - 1 = 0$이다. $x > 0$이므로 $\displaystyle x = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$이다. $x ^{2} = x + 1$ $x ^{3} = \left( x + 1 \right) x = 2 x + 1$ $x ^{4} = \left( 2 x + 1 \right) x = 3 x + 2$ $x ^{5} = \left( 3 x + 2 \right) x = 5 x + 3$ $x ^{6} = \left( 5 x + 3 \right) x = 8 x + 5$ $1 - x + x ^{2} - x ^{3} + x ^{4} - x ^{5} + x ^{6} - x ^{7} + x ^{8}$ $= 1 + \left( - x + x ^{2} \right) + x ^{2} \left( - x + x ^{2} \right) + x ^{4} \left( - x + x ^{2} \right)$$+ x ^{6} \left( - x + x ^{2} \right)$ $= 1 + 1 + x ^{2} + x ^{4} + x ^{6}$ $= 2 + \left( x + 1 \right) + \left( 3 x + 2 \right) + \left( 8 x + 5 \right)$ $= 12 x + 10$ $\displaystyle = 12 \times \frac{1 + \sqrt{5}}{2} + 10$ $\displaystyle = 16 + 6 \sqrt{5}$이므로 $p = 16$, $q = 6$이다. 따라서 $p + q = 22$이다.