대수수열의 합수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

정n각형 실 감기 넓이

문제

한 변의 길이가 $1$ 인 정 $n$ 각형의 꼭짓점에 못을 박아 놓는다. 실을 한 꼭짓점에 고정시켜 길이가 $n$ 이 되도록 잡고 한 변의 연장선 방향으로 팽팽하게 당긴 후 실의 끝의 이동거리가 최소가 되도록 정 $n$ 각형의 둘레로 한 바퀴 돌릴 때, 실이 움직인 영역의 넓이를 $S _{n}$ 이라 하자. 예를 들어 $S _{3}$ 은 그림과 같이 정삼각형의 한 꼭짓점에 고정시킨 길이가 $3$ 이 되도록 실을 잡고 정삼각형 둘레로 한 바퀴 돌릴 때 실이 움직인 영역의 넓이를 나타낸다. 이 때, $S _{20}$ 의 값은? (단, 실과 못의 굵기는 고려하지 않는다.) [4점]

① $\displaystyle \frac{287}{2} \pi$ ② $\displaystyle \frac{289}{2} \pi$ ③ $\displaystyle \frac{291}{2} \pi$ ④ $\displaystyle \frac{293}{2} \pi$ ⑤ $\displaystyle \frac{295}{2} \pi$

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①

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해설

[출제의도] 도형의 규칙성을 추론하여 수학내적 문제해결하기 $\displaystyle \mathrm{S} _{3} = \frac{1}{2} \left( \frac{2 \pi}{3} \times 3 ^{2} + \frac{2 \pi}{3} \times 2 ^{2} + \frac{2 \pi}{3} \times 1 ^{2} \right)$ $\displaystyle = \frac{\pi}{3} ( 3 ^{2} + 2 ^{2} + 1 ^{2} )$ $\displaystyle \mathrm{S} _{4} = \frac{1}{2} \left( \frac{\pi}{2} \times 4 ^{2} + \frac{\pi}{2} \times 3 ^{2} + \frac{\pi}{2} \times 2 ^{2} + \frac{\pi}{2} \times 1 ^{2} \right)$ $\displaystyle = \frac{\pi}{4} ( 4 ^{2} + 3 ^{2} + 2 ^{2} + 1 ^{2} )$ $\vdots$ $\displaystyle \left. \mathrm{S} _{20} = \frac{\pi}{20} ( 20 ^{2} + 19 ^{2} + \cdots + 1 ^{2} ) \right.$ $\displaystyle = \frac{287 \pi}{2}$

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