미적분Ⅱ정적분의 활용수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

정적분과 급수의 합

문제

함수 f(x)=ln⁡xf ( x ) = \ln x에 대하여 lim⁡n→∞∑k=1n1n+kf(1+kn)\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {} \sum\limits _{k = 1} ^{n} \frac{1}{n + k} f \left( 1 + \frac{k}{n} \right)의 값은? [4점] ①ln⁡2\ln 2②(ln⁡2)2\left( \ln 2 \right) ^{2}③ln⁡22\displaystyle \frac{\ln 2}{2}④(ln⁡2)22\displaystyle \frac{\left( \ln 2 \right) ^{2}}{2}⑤(ln⁡2)24\displaystyle \frac{( \ln 2 ) ^{2}}{4}

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④

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해설

lim⁡n→∞∑k=1n1n+kf(1+kn)\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {} \sum\limits _{k = 1} ^{n} \frac{1}{n + k} f \left( 1 + \frac{k}{n} \right) ==lim⁡n→∞1n∑k=1n11+k/nf(1+k/n)\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {} \frac{1}{n} \sum\limits _{k = 1} ^{n} \frac{1}{1 + k / n} f \left( 1 + k / n ) \right. =∫121xln⁡xdx\displaystyle = \int _{1} ^{2} \frac{1}{x} \ln x dx=[12(ln⁡x)2]12\displaystyle = \left[ \frac{1}{2} ( \ln x ) ^{2} \right] _{1} ^{2}=12(ln⁡2)2\displaystyle = \frac{1}{2} ( \ln 2 ) ^{2}

태그

#정적분과 급수#로그함수 적분

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