미적분Ⅱ정적분의 활용수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

정적분과 급수

문제

함수 f(x)=3x2+2f \left( x \right) = 3 x ^{2} + 2에 대하여 lim⁡n→∞∑k=1nf(1+2kn)1n\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {\sum\limits _{k = 1} ^{n} f \left( 1 + \frac{2 k}{n} \right) \frac{1}{n}}의 값은? [3점] ①1212②1515③1818④2121⑤2424

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②

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해설

[출제의도] 정적분과 급수의 관계 이해하기 lim⁡n→∞∑k=1nf(1+2kn)1n\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {\sum\limits _{k = 1} ^{n} f \left( 1 + \frac{2 k}{n} \right) \frac{1}{n ^{}}}=12lim⁡n→∞∑k=1nf(1+3−1nk)2n\displaystyle = \frac{1}{2} \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {\sum\limits _{k = 1} ^{n} f \left( 1 + \frac{3 - 1}{n} k \right) \frac{2}{n}} =12∫13f(x)dx\displaystyle = \frac{1}{2} \int _{1} ^{3} {f ( x )} dx=12∫13(3x2+2)dx\displaystyle = \frac{1}{2} \int _{1} ^{3} {( 3 x ^{2} + 2 )} dx =12[x3+2x]13\displaystyle = \frac{1}{2} \left[ x ^{3} + 2 x ^{} \right] _{1} ^{3}=12×(33−3)=15\displaystyle = \frac{1}{2} \times \left( 33 - 3 \right) = 15

태그

#정적분과 급수#구분구적법

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