정적분으로 정의된 함수의 극한

$\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow 1} {} \frac{g \left( x \right)}{x - 1}$$= \mathit{2}$ 에서 $x \rightarrow 1$일 때 (분모)$\rightarrow 0$이므로 (분자)$\rightarrow 0$이다. 즉, $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow 1} {g \left( x \right) = 0}$이므로 $g ( 1 ) = 0$ 이다. $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow 1} {} \frac{g \left( x \right) - g \left( 1 \right)}{x - 1} = g {'} ( 1 ) = 2$ $g \left( x \right)$$\displaystyle = \int _{\mathit{-} 1} ^{x} {} f \left( t \right) dt$에서 $x = - 1$을 대입하면 $g ( - 1 ) = 0$ 양변을 미분하면 $\displaystyle g' ( x ) = \frac{d}{dx} \int _{- 1} ^{x} {f ( t ) dt} = f ( x )$ 그런데, $g \left( x \right)$는 최고차함의 계수가 $\displaystyle \frac{1}{3}$이고 $g ( 1 ) = 0$, $g ( - 1 ) = 0$, $g {'} ( 1 ) = 2$이므로 $g \left( x \right)$$\displaystyle = \frac{1}{3} ( x - 1 ) ( x + 1 ) ( x - \alpha )$ $\displaystyle = \frac{1}{3} \left\{ ( x ^{2} - 1 ) ( x - \alpha ) \right\}$ 양변을 미분하면 $\displaystyle g {'} \left( x \right) = \frac{1}{3} \left\{ 2 x ( x - \alpha ) + ( x ^{2} - 1 ) \right\}$ $\cdots \cdots$ ㉠ 이므로 $g {'} \left( 1 \right)$$\displaystyle = \frac{1}{3} \left\{ 2 \times 1 \times ( 1 - \alpha ) + ( 1 - 1 ) \right\}$ $\displaystyle = \frac{1}{3} \left\{ 2 - 2 \alpha \right\} = 2$ 즉, $2 \alpha = - 4$이므로 $\alpha = - 2$ ㉠에 대입하면 $g {'} \left( x \right)$$\displaystyle = \frac{1}{3} \left\{ 2 x ( x + 2 ) + ( x ^{2} - 1 ) \right\}$ $\displaystyle = x ^{2} + \frac{4}{3} x - \frac{1}{3}$ 따라서 $f ( x )$$\displaystyle = x ^{2} + \frac{4}{3} x - \frac{1}{3}$ $\displaystyle \therefore f ( 4 ) = 4 ^{2} - \frac{4}{3} \times 4 - \frac{1}{3} = 21$