미적분Ⅰ부정적분과 정적분수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

정적분으로 정의된 함수

문제

다항함수 f(x)f ( x )가 모든 실수 xx에 대하여 ∫1x{ddtf(t)}dt=x3+ax2−2\displaystyle \int _{1} ^{x} {\left\{ \frac{d}{dt} f ( t ) \right\} dt} = x ^{3} + ax ^{2} - 2 를 만족시킬 때, f′(a)f' ( a )의 값은? ((단, aa는 상수이다.)) [4점] ①11②22③33④44⑤55

정답 보기
⑤

자료 내려받기

아직 올라온 파일이 없습니다.

해설

[출제의도] 주어진 조건을 만족시키는 미지수의 값을 구하고, 미분계수를 구할 수 있는가? 주어진 식의 양변에 x=1x = 1을 대입하면 0=1+a−20 = 1 + a - 2에서 a=1a = 1 한편, ddtf(t)=f′(t)\displaystyle \frac{d}{dt} f ( t ) = f' ( t )이므로 ∫1x{ddtf(t)}dt\displaystyle \int _{1} ^{x} {} \left\{ \frac{d}{dt} f ( t ) \right\} dt=∫1xf′(t)dt=[f(t)]1x=f(x)−f(1)\displaystyle = \int _{1} ^{x} {f' ( t ) dt = \left[ f ( t ) \right] _{1} ^{x} = f ( x ) - f ( 1 )} 이때 ∫1x{ddtf(t)}dt=x3+x2−2\displaystyle \int _{1} ^{x} {} \left\{ \frac{d}{dt} f ( t ) \right\} dt = x ^{3} + x ^{2} - 2 에서 f(x)−f(1)=x3+x2−2f ( x ) - f ( 1 ) = x ^{3} + x ^{2} - 2 따라서 f′(x)=3x2+2xf' ( x ) = 3 x ^{2} + 2 x이므로 f′(a)=f′(1)=3+2=5f' ( a ) = f' ( 1 ) = 3 + 2 = 5

태그

#정적분과 미분의 관계

비슷한 문제 더 보기

미적분Ⅰ 문제 모음미적분Ⅰ 부정적분과 정적분 문제 모음수능 문제 모음발전 문제 모음
← 전체 문제 목록으로