정적분 조건을 만족하는 삼차함수의 참거짓

삼차함수 $f ( x ) = ax ^{3} + bx ^{2} + cx + d \left( a \ne 0 \right)$에 대하여 $\displaystyle \int _{- 1} ^{1} {} f \left( x \right) dx = 0$, $\displaystyle \int _{- 1} ^{1} {} xf \left( x \right) dx = 0$이다. $\displaystyle \int _{- 1} ^{1} {} f \left( x \right) dx$$\displaystyle = \int _{- 1} ^{1} {} \left( ax ^{3} + bx ^{2} + cx + d \right) dx$ $\displaystyle = 2 \int _{0} ^{1} {} \left( bx ^{2} + d \right) dx$ $\displaystyle = 2 \left[ \begin{array}{l} \begin{matrix} \\ \end{matrix} \frac{b}{3} x ^{3} + dx \end{array} \right] _{0} ^{1}$ $\displaystyle = \frac{2 b}{3} + 2 d$ $\displaystyle \frac{2 b}{3} + 2 d = 0$이므로 $\displaystyle d = - \frac{b}{3}$ $\displaystyle \int _{- 1} ^{1} {} xf \left( x \right) dx$$\displaystyle = \int _{- 1} ^{1} {} \left( ax ^{4} + bx ^{3} + cx ^{2} + dx \right) dx$ $\displaystyle = 2 \int _{0} ^{1} {} \left( ax ^{4} + cx ^{2} \right) dx$ $\displaystyle = 2 \left[ \begin{array}{l} \begin{matrix} \\ \end{matrix} \frac{a}{5} x ^{5} + \frac{c}{3} x ^{3} \end{array} \right] _{0} ^{1}$ $\displaystyle = \frac{2 a}{5} + \frac{2 c}{3}$ $\displaystyle \frac{2 a}{5} + \frac{2 c}{3} = 0$이므로 $\displaystyle c = - \frac{3}{5} a$ ㄱ. 실수 $a$, $b$, $c$, $d$에 대하여 $\displaystyle c = - \frac{3}{5} a$, $\displaystyle d = - \frac{b}{3}$이므로 $abcd$$\displaystyle = ab \times \left( - \frac{3}{5} a \right) \times \left( - \frac{b}{3} \right)$$\displaystyle = \frac{1}{5} \left( ab \right) ^{2}$$\geq 0$ (참) ㄴ. 함수 $f ( x )$는 닫힌구간 $\left[ - 1 , 0 \right]$에서 연속이다. $f \left( - 1 \right)$$= - a + b - c + d$ $\displaystyle = - a + b - \left( - \frac{3}{5} a \right) - \frac{b}{3}$ $\displaystyle = - \frac{2}{5} a + \frac{2}{3} b$ $\displaystyle f \left( 0 \right) = d = - \frac{b}{3}$ $ab < 0$이면 $f \left( - 1 \right) f \left( 0 \right)$$\displaystyle = \left( - \frac{2}{5} a + \frac{2}{3} b \right) \left( - \frac{b}{3} \right)$$\displaystyle = \frac{2}{15} ab - \frac{2}{9} b ^{2}$$< 0$ 이므로 사잇값의 정리에 의하여 방정식 $f \left( x \right) = 0$은 열린구간 $\left( - 1 , 0 \right)$에서 적어도 하나의 실근을 갖는다. (참) ㄷ. 함수 $f ( x )$는 닫힌구간 $\left[ 0 , 1 \right]$에서 연속이다. $f \left( 1 \right)$$= a + b + c + d$ $\displaystyle = a + b - \frac{3}{5} a - \frac{b}{3}$ $\displaystyle = \frac{2}{5} a + \frac{2}{3} b$ $ab > 0$이면 $f \left( 0 \right) f \left( 1 \right)$$\displaystyle = \left( - \frac{b}{3} \right) \left( \frac{2}{5} a + \frac{2}{3} b \right)$ $\displaystyle = - \frac{2}{15} ab - \frac{2}{9} b ^{2}$$< 0$ 이므로 사잇값의 정리에 의하여 방정식 $f \left( x \right) = 0$은 열린구간 $\left( 0 , 1 \right)$에서 적어도 하나의 실근을 갖는다. $f' \left( x \right) = 3 ax ^{2} + 2 bx + c$ 이므로 $\displaystyle f' \left( x \right) = 3 ax ^{2} + 2 bx - \frac{3}{5} a$이다. 함수 $f' ( x )$는 닫힌구간 $\left[ 0 , 1 \right]$에서 연속이다. $\displaystyle f' \left( 0 \right) = - \frac{3}{5} a$, $\displaystyle f' \left( 1 \right) = \frac{12}{5} a + 2 b$ $ab > 0$이면 $f' \left( 0 \right) f' \left( 1 \right)$$\displaystyle = - \frac{3}{5} a \left( \frac{12}{5} a + 2 b \right)$$\displaystyle = - \frac{36}{25} a ^{2} - \frac{6}{5} ab$$< 0$ 이므로 사잇값의 정리에 의하여 방정식 $f' \left( x \right) = 0$은 열린구간 $\left( 0 , 1 \right)$에서 적어도 하나의 실근을 갖는다. 함수 $f ( x )$의 그래프는 점 $\displaystyle \left( - \frac{b}{3 a} , f \left( - \frac{b}{3 a} \right) \right)$에 대하여 대칭이다. $ab > 0$이면 $\displaystyle - \frac{b}{3 a} < 0$ 따라서 방정식 $f' \left( x \right) = 0$은 열린구간 $\left( 0 , 1 \right)$에서 오직 하나의 실근을 갖는다. $a > 0$, $b > 0$일 때, 함수 $y = f \left( x \right)$의 그래프의 개형은 다음 $2$개의 꼴 중 하나이다.

위의 두 그림에 의하여 $a > 0$, $b > 0$일 때, 방정식 $f \left( x \right) = 0$은 열린구간 $\left( 0 , 1 \right)$에서 오직 한 실근을 갖는다. $a < 0$, $b < 0$일 때도 위와 같은 방법으로 하면 방정식 $f \left( x \right) = 0$은 열린구간 $\left( 0 , 1 \right)$에서 오직 한 실근을 갖는다. 따라서 $ab > 0$이면 방정식 $f \left( x \right) = 0$은 열린구간 $\left( 0 , 1 \right)$에서 오직 한 실근을 갖는다. (참) 이상에서 ㄱ, ㄴ, ㄷ 모두 옳다.