정적분 함수 보기

[출제의도] 정적분의 성질을 활용하여 참, 거짓 추론하기 ㄱ. $g' ( x ) = xf ( x )$이므로 $g' ( 0 ) = 0$ (참) ㄴ. 함수 $g ( x )$가 닫힌 구간 $[ 0 , \alpha ]$에서 연속, 열린 구간 $( 0 , \alpha )$에서 미분가능, $g ( 0 ) = g ( \alpha ) = 0$이므로 롤의 정리에 의하여 $g' ( c ) = cf ( c ) = 0$인 $c$가 열린 구간 $( 0 , \alpha )$에 적어도 하나 존재한다. $c \neq 0$이므로 $f ( c ) = 0$ 따라서 방정식 $f ( x ) = 0$은 열린 구간 $( 0 , \alpha )$에서 적어도 하나의 실근을 갖는다. (참) ㄷ. $\beta > 0$이고 $g ( \beta ) = 0$이므로 ㄴ에 의하여 $f ( \gamma ) = 0$인 $\gamma$$( 0 < \gamma < \beta )$가 존재한다. $f ( x ) = a ( x - \gamma ) ( x - \beta )$ $( a > 0 )$이고 $\displaystyle S _{1} = \int _{0} ^{\gamma {\left| xf ( x ) \right| dx}}$, $\displaystyle S _{2} = \int _{\gamma} ^{\beta {\left| xf ( x ) \right| dx}}$라 하면 $y = xf ( x )$의 그래프는 다음과 같다.

$\displaystyle g ( \beta ) = \int _{0} ^{\beta} {tf ( t ) dt = S _{1} - S _{2} = 0}$이므로 $S _{1} = S _{2}$이다. $\displaystyle \int _{\beta} ^{x} {tf ( t )} dt = g ( x ) - g ( \beta )$$\displaystyle = g ( x ) = \int _{0} ^{x} {tf ( t )} dt \geq 0$ 이므로, 모든 실수 $x$에 대하여 $\displaystyle \int _{\beta} ^{x} {tf ( t )} dt \geq 0$ (참) 따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ, ㄷ