정적분 부등식 보기

[출제의도] 정적분의 성질을 이용하여 함수를 추론한다. $f' ( 2 ) = 0$이므로 실수 $k$에 대하여 $f ( x ) = x ^{2} - 4 x + k$라 하자. ㄱ. 만약 $f ( 2 ) \geq 0$이면 $x > 2$일 때 $f ( x ) > 0$이므로 정적분과 넓이의 관계에 의하여 $\displaystyle \int _{2} ^{4} {f ( x )} dx > 0$, 즉 $\displaystyle \int _{4} ^{2} {f ( x ) dx} = \mathit{-} \int _{2} ^{4} {f ( x ) dx} < 0$이므로 주어진 조건을 만족시키지 못한다. 즉 $f ( 2 ) < 0$ (참) ㄴ. $\displaystyle \int _{4} ^{3} {f ( x ) dx}$$\displaystyle = \left[ \frac{1}{3} x ^{3} - 2 x ^{2} + kx \right] _{4} ^{3}$$\displaystyle = \mathit{-} k + \frac{5}{3}$ $\displaystyle - k + \frac{5}{3} \geq 0$이므로 $\displaystyle k \leq \frac{5}{3}$ $\displaystyle \int _{4} ^{2} {f ( x ) dx}$$\displaystyle = \left[ \frac{1}{3} x ^{3} - 2 x ^{2} + kx \right] _{4} ^{2}$$\displaystyle = \mathit{-} 2 k + \frac{16}{3}$ $\displaystyle \int _{4} ^{3} {f ( x ) dx - \int _{4} ^{2} {f ( x ) dx}}$$\displaystyle = k - \frac{11}{3}$ $\displaystyle k \leq \frac{5}{3}$에서 $\displaystyle k - \frac{11}{3} \leq \mathit{-} 2 < 0$이므로 $\displaystyle \int _{4} ^{3} {f ( x ) dx < \int _{4} ^{2} {f ( x ) dx}}$ (거짓) ㄷ. ㄴ에서 $\displaystyle k \leq \frac{\mathit{5}}{3}$이므로 $\displaystyle f ( 3 ) = k - 3 \leq - \frac{4}{3} < 0$ $f ( 3 ) = f ( 1 ) < 0$이므로 구간 $\left[ 1 , 3 \right]$에서 $f ( x ) < 0$이고, $n = 1$ 또는 $n = 2$일 때 곡선 $y = f ( x )$와 $x$축 및 두 직선 $x = n$, $x = 3$으로 둘러싸인 부분의 넓이가 $\displaystyle - \int _{n} ^{3} {f ( x ) dx}$와 같다. 즉 $\displaystyle \int _{3} ^{n} {f ( x ) dx} = \mathit{-} \int _{n} ^{3} {f ( x ) dx} > 0$ $\cdots \cdots$ ㉠ $\displaystyle \int _{4} ^{5} {f ( x ) dx}$$\displaystyle = \left[ \frac{1}{3} x ^{3} - 2 x ^{2} + kx \right] _{4} ^{5}$$\displaystyle = k + \frac{7}{3}$ $\displaystyle k + \frac{7}{3} \geq 0$에서 $\displaystyle k \geq - \frac{7}{3}$이므로 $\displaystyle f ( 5 ) = 5 + k \geq \frac{8}{3} > 0$ 구간 $[ 5 , \infty )$에서 $f ( x ) > 0$이다. 그러므로 $6$ 이상의 모든 자연수 $n$에 대하여 곡선 $y = f ( x )$와 $x$축 및 두 직선 $x = 5$, $x = n$으로 둘러싸인 부분의 넓이가 $\displaystyle \int _{5} ^{n} {f ( x ) dx}$와 같다. 즉 $\displaystyle \int _{5} ^{n} {f ( x ) dx} > 0$ $\cdots \cdots$ ㉡ ㉠, ㉡에서 $\displaystyle \int _{4} ^{3} {f \left( x \right) dx} \geq 0$, $\displaystyle \int _{4} ^{5} {f ( x ) dx} \geq 0$이면 함수 $f ( x )$가 주어진 조건을 만족시킨다. 따라서 $\displaystyle - \frac{7}{3} \leq k \leq \frac{5}{3}$ $\cdots \cdots$ ㉢ $\displaystyle \int _{4} ^{6} {f ( x ) dx}$$\displaystyle = 2 k + \frac{32}{3}$이므로 ㉢에서 $\displaystyle 6 \leq \int _{4} ^{6} {f ( x ) dx \leq 14}$ (참) 이상에서 옳은 것은 ㄱ, ㄷ이다.