정규분포의 대칭과 평행이동

확률변수 $X$는 정규분포 $\mathrm{N} \mathit{\left( m _{1} , \sigma _{1} ^{2} \right)}$을 따르고 확률변수 $Y$는 정규분포 $\mathrm{N} \mathit{\left( m _{2} , \sigma _{2} ^{2} \right)}$을 따를 때, 모든 실수 $x$에 대하여 $\mathrm{P} \mathit{\left( X \leq x \right)} = \mathrm{P} \mathit{\left( X \geq 40 - x \right)}$ 가 성립하므로 $\displaystyle m _{1} = \frac{x + 40 - x}{2} = 20$ 또한 모든 실수 $x$에 대하여 $\mathrm{P} \mathit{\left( Y \leq x \right)} = \mathrm{P} \mathit{\left( X \leq x + 10 \right)}$ $\displaystyle Z _{1} = \frac{X - 20}{\sigma _{1}}$, $\displaystyle Z _{2} = \frac{Y - m _{2}}{\sigma _{2}}$라 하면 확률변수 $Z _{1}$, $Z _{2}$는 표준정규분포 ${\mathrm{N}} \mathit{(} 0 , 1 )$을 따르므로 $\displaystyle \mathrm{P} \mathit{\left( Z _{2} \leq \frac{x - m _{2}}{\sigma _{2}} \right)} = \mathrm{P} \mathit{\left( Z _{1} \leq \frac{x + 10 - 20}{\sigma _{1}} \right)}$ 이때, 모든 실수 $x$에 대하여 $\displaystyle \frac{1}{\sigma _{2}} x - \frac{m _{2}}{\sigma _{2}} = \frac{1}{\sigma _{1}} x - \frac{10}{\sigma _{1}}$ 이 성립하므로 $\sigma _{1} = \sigma _{2}$, $m _{2} = 10$ 따라서 $\mathrm{P} \mathit{\left( 15 \leq X \leq 20 \right)} = \mathrm{P} \mathit{\left( 5 \leq Y \leq 10 \right)} = \mathrm{P} \mathit{\left( 10 \leq Y \leq 15 \right)}$ 이므로 $\mathrm{P} \mathit{\left( 15 \leq X \leq 20 \right)} + \mathrm{P} \mathit{\left( 15 \leq Y \leq 20 \right)}$ $\mathrm{=} P \mathit{\left( 10 \leq Y \leq 15 \right)} + \mathrm{P} \mathit{\left( 15 \leq Y \leq 20 \right)}$ $\mathrm{=} P \mathit{\left( 10 \leq Y \leq 20 \right)}$ $\displaystyle \mathrm{=} P \mathit{\left( \frac{10 - 10}{\sigma _{2}} \leq Z _{2} \leq \frac{20 - 10}{\sigma _{2}} \right)}$ 즉 $\displaystyle \mathrm{P} \mathit{\left( 0 \leq Z _{2} \leq \frac{10}{\sigma _{2}} \right)} = 0.4772$이므로 $\displaystyle \frac{10}{\sigma _{2}} = 2$, $\sigma _{2} = 5$ $\therefore$ $m _{1} + \sigma _{2} = 20 + 5 = 25$