정규분포 표준편차

출제의도 : 정규분포의 성질을 이용 하여 분산을 구할 수 있는가? 라 하자. 확률변수 $X$의 평균을 $m$, 표준편차를 $\sigma$라 하자. 조건 (가)에서 $P \left( X \geq 1 \right) + P \left( X \geq 7 \right) = 1$이고 확률변수 $X$가 정규분포를 따르므로 $\displaystyle \frac{1 + 7}{2} = m$ 즉, $m = 4$ 조건 (나)에서 $\mathrm{P} ( | X - 5 | \leq 3 ) + \mathrm{P} ( X \leq 0 ) = \mathrm{P} ( Z \leq 1 )$ ---① 이때 $\mathrm{P} ( | X - 5 | \leq 3 ) = \mathrm{P} ( 2 \leq X \leq 8 )$, $\mathrm{P} ( X \leq 0 ) = \mathrm{P} ( X \geq 8 )$ 이므로 $\mathrm{P} ( | X - 5 | \leq 3 ) + \mathrm{P} ( X \leq 0 )$$= \mathrm{P} ( 2 \leq X \leq 8 ) + \mathrm{P} ( X \geq 8 )$ $= \mathrm{P} ( X \geq 2 )$ ----㉡ $\displaystyle Z = \frac{X - m}{\sigma}$이라 하면 $Z$는 표준정규분포 $\mathrm{N} ( 0 , 1 )$을 따르므로 $\displaystyle \begin{aligned} \mathrm{P} ( X \geq 2 ) & = \mathrm{P} \left( Z \geq \frac{2 - 4}{\sigma} \right) \end{aligned}$ $\displaystyle = \mathrm{P} \left( Z \geq - \frac{2}{\sigma} \right)$---㉢ ㉠, ㉡, ㉢에서 $\displaystyle \mathrm{P} \left( Z \geq - \frac{2}{\sigma} \right) = \mathrm{P} ( Z \leq 1 )$ 즉, $\displaystyle \mathrm{P} \left( Z \leq \frac{2}{\sigma} \right) = \mathrm{P} ( Z \leq 1 )$이므로 $\displaystyle \frac{2}{\sigma} = 1$, $\sigma = 2$ 따라서 $\sigma ( X ) = 2$