정규분포 확률 조건으로 값 구하기

확률변수 $X$가 정규분포 $\mathrm{N} \mathit{\left( 1 , t ^{2} \right)}$을 따르므로 $\displaystyle Z = \frac{X - 1}{t}$으로 놓으면 $Z$는 표준정규분포 ${\mathrm{N}} \mathit{\left( 0 , 1 \right)}$을 따른다. $\mathrm{P} \mathit{\left( X \leq 5 t \right)}$$\displaystyle \geq \frac{1}{2}$에서 $\displaystyle \mathrm{P} \mathit{\left( Z \leq \frac{5 t - 1}{t} \right)} \geq \frac{1}{2}$ $\therefore$ $\displaystyle \frac{5 t - 1}{t} \geq 0$, $\displaystyle t \geq \frac{1}{5}$($\because$ $t > 0$) $\mathrm{P} \mathit{\left( t ^{2} - t + 1 \leq X \leq t ^{2} + t + 1 ) \right.}$ $\displaystyle = \mathrm{P} \mathit{\left( \frac{t ^{2} - t + 1 - 1}{t} \leq Z \leq \frac{t ^{2} + t + 1 - 1}{t} \right)}$ $= \mathrm{P} \mathit{\left( {t - 1 \leq Z \leq t + 1 )} \right.}$ 에서 $Z$의 범위의 길이는 $2$이고, 범위의 중앙값은 $\displaystyle \frac{( t - 1 ) + ( t + 1 )}{2} = t$이다. 표준정규분포곡선의 특성에 따라 같은 길이의 범위일 경우 중앙값이 $0$에 가까울수록 확률값은 커진다. 따라서 $\mathrm{P} \mathit{\left( t ^{2} - t + 1 \leq X \leq t ^{2} + t + 1 ) \right.}$의 최댓값은 $\displaystyle t = \frac{1}{5}$일 때 $\mathrm{P} \mathit{\left( {- 0.8 \leq Z \leq 1.2 )} \right.}$$= \mathrm{P} \mathit{\left( {0 \leq Z \leq 0.8 )} \right.}$$+ \mathrm{P} \mathit{\left( {0 \leq Z \leq 1.2 )} \right.}$ $= 0.288 + 0.385$ $= 0.673$ $\therefore$ $k = 0.673$ $\therefore$ $1000 \times k = 673$