확률과 통계확률분포수능 기출기본 문제 (3점 중반)

정규분포 확률

문제

어느 고등학교의 수학 시험에 응시한 수험생의 시험 점수는 평균이 $\mathrm{68}$ 점, 표준편차가 $\mathrm{10}$ 점인 정규분포를 따른다고 한다. 이 수학 시험에 응시한 수험생 중 임의로 선택한 수험생 한 명의 시험 점수가 $\mathrm{55}$ 점 이상이고 $\mathrm{78}$ 점 이하일 확률을 오른쪽 표준정규분포표를 이용하여 구한 것은? [3점]

$z$	${\mathrm{P}} \mathit{(} 0 \leq Z \leq z )$
$\mathrm{1.0}$	$\mathrm{0.3413}$
$\mathrm{1.1}$	$\mathrm{0.3643}$
$\mathrm{1.2}$	$\mathrm{0.3849}$
$\mathrm{1.3}$	$\mathrm{0.4032}$

① $\mathrm{0.7262}$ ② $\mathrm{0.7445}$ ③ $\mathrm{0.7492}$ ④ $\mathrm{0.7675}$ ⑤ $\mathrm{0.7881}$

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②

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해설

시험 점수를 확률변수 $X$ 라 하면 $X$ 는 정규분포 $\mathrm{N} \left( 68 , 10 ^{2} \right)$ 를 따르므로 $\displaystyle Z = \frac{X - 68}{10}$ 으로 놓으면 $Z$ 는 표준정규분포 ${\mathrm{N}} \mathit{\left( 0 , 1 \right)}$ 을 따른다. 시험 점수가 $55$ 점 이상이고 $78$ 점 이하일 확률은 $\mathrm{P} \mathit{\left( 55 \leq X \leq 78 \right)}$ $\displaystyle = \mathrm{P} \mathit{\left( \frac{55 - 68}{10} \leq Z \leq \frac{78 - 68}{10} \right)}$ $= \mathrm{P} \mathit{\left( - 1.3 \leq Z \leq 1 \right)}$ $= \mathrm{P} \mathit{\left( 0 \leq Z \leq 1.3 \right)} + \mathrm{P} \mathit{\left( 0 \leq Z \leq 1 \right)}$ $= 0.4032 + 0.3413$ $= 0.7445$

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