확률과 통계확률분포수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

정규분포 확률

문제

확률변수 $X$ 는 평균이 $m$ , 표준편차가 $4$ 인 정규분포를 따르고, 확률변수 $X$ 의 확률밀도함수 $f ( x )$ 가 $f ( 8 ) > f ( 14 )$ , $f ( 2 ) < f ( 16 )$ 을 만족시킨다. $m$ 이 자연수일 때, $\mathrm{P} ( \mathit{X} \leq 6 )$ 의 값을 오른쪽 표준정규분포표를 이용하여 구한 것은?

$z$	$\mathrm{P} ( \mathit{0} \leq Z \leq z )$
$1.0$	$0.3413$
$1.5$	$0.4332$
$2.0$	$0.4772$
$2.5$	$0.4938$

[3점] ① $0.0062$ ② $0.0228$ ③ $0.0668$ ④ $0.1525$ ⑤ $0.1587$

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⑤

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해설

[출제의도] 정규분포의 성질을 이해한다. 확률밀도함수 $y = f ( x )$ 의 그래프는 직선 $x = m$ 에 대하여 대칭이다. (ⅰ) $f ( 8 ) > f ( 14 )$ 에서 $\displaystyle m < \frac{8 + 14}{2}$ , 즉 $m < 11$ (ⅱ) $f ( 2 ) < f ( 16 )$ 에서 $\displaystyle m > \frac{2 + 16}{2}$ , 즉 $m > 9$ (ⅰ), (ⅱ)에서 $m$ 은 자연수이므로 $m = 10$ $\mathrm{P} ( \mathit{X} \leq 6 )$ $\displaystyle = \mathrm{P} \left( \mathit{Z} \leq \frac{6 - 10}{4} \right)$ $= \mathrm{P} ( \mathit{Z} \leq - 1 )$ $= 0.5 - \mathrm{P} ( 0 \leq \mathit{Z} \leq 1 )$ $= 0.1587$

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