확률과 통계확률분포수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

정규분포 대칭과 확률

문제

정규분포 $\mathrm{N} \mathit{(} m , \sigma ^{2} ) _{}$ 을 따르는 확률변수 $X$ 에 대하여 확률밀도함수 $f ( x )$ 가 모든 실수 $x$ 에 대하여 $f ( 100 - x ) = f ( 100 + x ) _{{} _{{} _{}}}$ 를 만족한다. $\mathrm{P} \mathit{(} m \leq X \leq m + 8 ) = 0.4772 _{{} _{{} _{}}} ^{{} ^{}}$ 일 때, 표준정규분포표를 이용하여 $\mathrm{P} \mathit{(} 94 \leq X \leq 110 )$ 을 구하면? [4점]

<표준정규분포표>
$z$	$\mathrm{P} \mathit{(} 0 \leq Z \leq z )$
$1.5$	$0.4332$
$2.0$	$0.4772$
$2.5$	$0.4938$
$3.0$	$0.4987$

① $0.9104$ ② $0.9270$ ③ $0.9710$ ④ $0.9725$ ⑤ $0.9759$

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②

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해설

$f ( 100 - x ) = f ( 100 + x )$ 이므로 $f ( x )$ 는 $x = 100$ 에 대하여 대칭이다. $\therefore m = 100$ $\mathrm{P} \mathit{(} 100 \leq X \leq 108 ) = \mathrm{P} \mathit{(} 0 \leq Z \leq 2 ) = 0.4772$ $\displaystyle \frac{108 - 100}{\sigma} = 2$ $\therefore \sigma = 4$ $\mathrm{P} \mathit{(} 94 \leq X \leq 110 ) = \mathrm{P} \mathit{\left( - 1.5 \leq Z \leq 2.5 \right)} = 0.9270$

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