대수수열의 합수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

정다각형 꼭짓점 번호

문제

선분 AB\mathrm{AB}를 한 변으로 공유하는 정삼각형, 정사각형, 정오각형, ⋯ 을 차례로 그린다. 그림과 같이 선분 AB\mathrm{AB}의 양 끝점에 11, 22를 각각 적고, 각 정다각형의 꼭지점 중 두 점 A,B\mathrm{A} , B를 제외한 모든 꼭지점에 정삼각형, 정사각형, 정오각형, ⋯ 의 순서로 자연수 3,4,5,⋯3 , 4 , 5 , \cdots를 차례로 대응시킨다. 정4040각형의 꼭지점에 대응되는 자연수 중에서 가장 큰 수는? [4점]

①555555②639639③743743④857857⑤950950

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③

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해설

정 nn각형 (단, n≥3)n \geq 3 )의 꼭지점에 대응하는 수 중에서 가장 큰 수를 ana _{n}이라고 하면 a3=3,a4=5,a5=8,⋯a _{3} = 3 , a _{4} = 5 , a _{5} = 8 , \cdots 수열 {bn\left\{ b _{n} \right.을 bn=an−2b _{n} = a _{n-2}라 하면, {bn\left\{ b _{n} \right.은 계차가 공차가 11인 등차수열이다. bn=b1+∑k=1n−1)(k+1)=3+12n)(n−1)+(n−1)\displaystyle b _{n} = b _{1} + \sum\limits _{k = 1} ^{n - 1} ) ( k + 1 ) = 3 + \frac{1}{2} n ) ( n - 1 ) + ( n - 1 )=12(n2+n+4)\displaystyle = \frac{1}{2} ( n ^{2} + n + 4 ) 따라서, 정 4040각형의 가장 큰 수 a40a _{40}은 a40=bn=12(382+38+4)\displaystyle a _{40} = b _{n} = \frac{1}{2} ( 38 ^{2} + 38 + 4 )=743= 743

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