대수등차수열과 등비수열수능 기출심화 문제 (4점 중반 이후, 킬러 직전)

정다각형 대각선 길이 개수

문제

자연수 nn(n≥4n \geq 4)에 대하여 집합 Dn={x∣xD _{n} = \left\{ x | x \right.는 반지름의 길이가 11인 원에 내접하는 정nn각형의 대각선의 길이} 라 하고, 집합 DnD _{n}의 원소의 개수를 ana _{n}이라 하자. 예를 들어, 그림과 같이 a5=1a _{5} = 1, a6=2a _{6} = 2이다. a22+a25a _{22} + a _{25}의 값을 구하시오. [4점]

a5=1a _{5} = 1a6=2a _{6} = 2
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해설

[출제의도] 정nn각형의 대각선의 성질을 이용하여 수열의 규칙성 추론하기 정nn각형의 한 꼭짓점에서 그을 수 있는 대각선의 개수는 n−3n - 3개다. ⅰ) n=2k(k≥2)n = 2 k ( k \geq 2 )일 때

k−1k - 1개

한 꼭짓점에서 그을 수 있는 대각선의 개수는 2k−32 k - 3이고 지름을 제외하면 2k−42 k - 4이다. 그런데 지름을 기준으로 상하 대칭이므로 서로 다른 길이의 대각선의 개수는 2k−42=k−2\displaystyle \frac{2 k - 4}{2} = k - 2 이다. 따라서 한 꼭짓점에서 그을 수 있는 서로 다른 길이의 대각선의 개수는 지름을 포함하여 (k−2)+1=k−1( k - 2 ) + 1 = k - 1 이다. ⅱ) n=2k+1(k≥2)n = 2 k + 1 ( k \geq 2 )일 때

k−1k - 1개

한 꼭짓점에서 그을 수 있는 대각선의 개수는 (2k+1)−3=2k−2( 2 k + 1 ) - 3 = 2 k - 2 이다. 그런데 지름을 기준으로 상하 대칭이므로 서로 다른 길이의 대각선의 개수는 2k−22=k−1\displaystyle \frac{2 k - 2}{2} = k - 1 이다. ⅰ)과 ⅱ)에 의해 a22=10a _{22} = 10, a25=11a _{25} = 11 이다. 따라서 a22+a25=21a _{22} + a _{25} = 21이다.

태그

#원소의 개수#정다각형#규칙

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