전개식의 계수와 시그마

[출제의도] $\displaystyle \mathbf{\sum\limits _{} ^{}}$의 성질을 이해하고 이를 활용하기 전개식에서 $x ^{10}$의 항들은 $1 \times 11 x ^{10} , 2 x \times 10 x ^{9} , 3 x ^{2} \times 9 x ^{8} , \cdots , 11 x ^{10} \times 1$ 이므로 $x ^{10}$의 계수는 $\left( 1 \times 11 \right) + \left( 2 \times 10 \right) + \left( 3 \times 9 \right) + \cdots + \left( 11 \times 1 \right)$ 따라서 $x ^{10}$의 계수는 $\displaystyle \sum\limits _{k = 1} ^{11} k \left( 12 - k \right) = 12 \sum\limits _{k = 1} ^{11} k - \sum\limits _{k = 1} ^{11} k ^{2}$ $\displaystyle = 12 \times \frac{11 \times 12}{2} - \frac{11 \times 12 \times 23}{2} = 286$이다.