전개식에서 계수

[출제의도] 이항정리 이해하기 $\displaystyle \left( ax - \frac{2}{ax} \right) ^{7}$의 전개식의 일반항은 $\displaystyle \mathrm{_{7}} C _{\mathit{r}} \left( ax \right) ^{r} \left( - \frac{2}{ax} \right) ^{7 - r} = _{7} \mathrm{C} _{\mathit{r}} \left( - 2 \right) ^{7 - r} a ^{2 r - 7} x ^{2 r - 7}$ $\displaystyle \left( ax - \frac{2}{ax} \right) ^{7}$의 전개식에서 각 항의 계수의 총합 $1$은 $\displaystyle \left( ax - \frac{2}{ax} \right) ^{7}$에 $x = 1$을 대입한 값과 같으므로 $\displaystyle \left( a - \frac{2}{a} \right) ^{7} = 1$, $\displaystyle a - \frac{2}{a} = 1$ $a ^{2} - a - 2 = 0$에서 $\left( a + 1 \right) \left( a - 2 \right) = 0$ $a > 0$이므로 $a = 2$ $\displaystyle \left( 2 x - \frac{1}{x} \right) ^{7}$의 전개식의 일반항은 $\mathrm{_{7}} C _{\mathit{r}} \left( - 1 \right) ^{7 - r} 2 ^{r} x ^{2 r - 7}$ $2 r - 7 = \mathit{-} 1$에서 $r = 3$ 따라서 $\displaystyle \frac{1}{x}$의 계수는 ${} _{7} \mathrm{C} _{3} \times \left( - 1 \right) ^{4} \times 2 ^{3} = 35 \times 1 \times 8 = 280$