확률과 통계이항정리수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

전개식 계수 극한

문제

nn이 33이상의 자연수일 때, xx에 대한 다항식 (1+xn)n\displaystyle \left( 1 + \frac{x}{n} \right) ^{n}의 전개식에서 x3x ^{3}의 계수를 ana _{n}이라 하자. lim⁡n→∞1an\displaystyle \lim\limits _{n\rightarrow \infty} \frac{1}{a _{n}}의 값을 구하시오. [4점]

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해설

an=nC3⋅1n−3⋅(1n)3=n(n−1)(n−2)6n3\displaystyle a _{n =} {}_{n} C _{3} \cdot 1 ^{n - 3} \cdot \left( \frac{1}{n} \right) ^{3} = \frac{n ( n - 1 ) ( n - 2 )}{6 n ^{3}} lim⁡n→∞1an=lim⁡n→∞6n3n(n−1)(n−2)=6\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {\frac{1}{a _{n}}} = \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {\frac{6 n ^{3}}{n ( n - 1 ) ( n - 2 )} = 6}

태그

#이항정리#극한

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