전개도 이면각

주어진 전개도로 사면체를 만들 때, 전개도의 점 $\mathrm{D}$, $\mathrm{E}$, $\mathrm{F}$는 일치한다. 사면체에서 이 세 점을 $\mathrm{P}$라 하자. 사면체 $\mathrm{PABC}$의 점 $\mathrm{P}$에서 면 $\mathrm{APC}$와 면 $\mathrm{ABC}$의 교선 $\mathrm{AC}$에 내린 수선의 발을 $\mathrm{H}$, 점 $\mathrm{P}$에서 평면 $\mathrm{ABC}$에 내린 수선의 발을 $\mathrm{G}$라 할 때, 이면각의 정의에 의하여 $\cos \theta$$\displaystyle = \frac{\mathrm{\overline{HG}}}{\overline{PH}}$이다.

삼각형 $\mathrm{PAC}$와 삼각형 $\mathrm{FAC}$가 합동이므로 $\displaystyle \mathrm{\overline{PH}} \perp \overline{AC}$, $\displaystyle \mathrm{\overline{FH}} \perp \overline{AC}$이다. 따라서 삼수선의 정리에 의하여 점 $\mathrm{G}$는 직선 $\mathrm{FH}$ 위에 존재한다. 점 $\mathrm{P}$에서 면 $\mathrm{PBC}$와 면 $\mathrm{ABC}$의 교선 $\mathrm{BC}$에 내린 수선의 발을 $\mathrm{I}$라 하면 삼각형 $\mathrm{PBC}$와 삼각형 $\mathrm{EBC}$가 합동이므로 $\displaystyle \mathrm{\overline{PH}} \perp \overline{BC}$, $\displaystyle \mathrm{\overline{EH}} \perp \overline{BC}$이다. 따라서 삼수선의 정리에 의하여 점 $\mathrm{G}$는 직선 $\mathrm{EI}$ 위에 존재한다.

$\displaystyle \mathrm{\overline{CF}} = \overline{CE} = 2$이므로 직각삼각형 $\mathrm{ABC}$, $\mathrm{AFC}$는 합동이다. 따라서 점 $\mathrm{F}$와 점 $\mathrm{B}$에서 선분 $\mathrm{AC}$에 내린 수선의 발은 일치한다. 따라서 직선 $\mathrm{FH}$는 점 $\mathrm{B}$를 지난다. $\displaystyle \cos ( \angle \mathrm{ACB} ) = \frac{1}{2}$이므로 $\angle \mathrm{ACB} = 60 ^\circ$이고 $\angle \mathrm{CBH} = 30 ^\circ$이다. ∴ $\displaystyle \mathrm{\overline{FH}} = \overline{BH} = 2 \sin 60 ^\circ = \sqrt{3}$ $\displaystyle \overline{\mathrm{BG}} \cos 30 ^\circ = 1$에서 $\displaystyle \mathrm{\overline{BG}} = \frac{2 \sqrt{3}}{3}$ $\displaystyle \mathrm{\overline{HG}}$$\displaystyle = \mathrm{\overline{BH}} - \overline{BG}$$\displaystyle = \frac{\sqrt{3}}{3}$ ∴ $\cos \theta$$\displaystyle = \frac{\mathrm{\overline{HG}}}{\overline{PH}}$$\displaystyle = \frac{\frac{\sqrt{3}}{3}}{\sqrt{3}}$$\displaystyle = \frac{1}{3}$ (∵ $\displaystyle \mathrm{\overline{PH}} = \overline{FH}$)