전칭과 존재 명제

[출제의도] ‘모든’, ‘어떤’을 포함한 명제 이해하기 모든 실수 $x$에 대하여 $x ^{2} + 2 k x + 4 k + 5 > 0$이므로 이차방정식 $x ^{2} + 2 k x + 4 k + 5 = 0$의 판별식을 $D$라 하면 $D = \left( 2 k \right) ^{2} - 4 \left( 4 k + 5 \right) < 0$ $4 k ^{2} - 16 k - 20 = 4 \left( k + 1 \right) \left( k - 5 \right) < 0$ $- 1 < k < 5$ 어떤 실수 $x$에 대하여 $x ^{2} = k - 2$이므로 $k - 2 \geq 0$에서 $k \geq 2$ 정수 $k$에 대한 두 조건 $p$, $q$의 진리집합을 각각 $P$, $Q$라 하자. $P = \left\{ 0 , 1 , 2 , 3 , 4 \right\}$, $Q = \left\{ 2 , 3 , 4 , \cdots \right\}$ $P \cap Q = \left\{ 2 , 3 , 4 \right\}$이므로 두 조건 $p$, $q$가 모두 참인 명제가 되도록 하는 정수 $k$의 값은 $2$, $3$, $4$이다. 따라서 모든 정수 $k$의 값의 합은 $\mathrm{9}$