공통수학1행렬과 그 연산수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

전치행렬 성질

문제

행렬 A=(abcd)\displaystyle A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}에 대하여 행렬 A′A'을 A′=(acbd)\displaystyle A' = \begin{pmatrix} a & c \\ b & d \end{pmatrix}로 정의할 때, 옳은 내용을 <보기>에서 모두 고른 것은? [3점]

〈 보 기 〉
ㄱ. (A′)′=A( A' )' = A ㄴ. (A+A′)′=A+A′( A + A' )' = A + A' ㄷ. ad−bc≠0ad - bc \ne 0일 때, (A−1)′=(A′)−1( A ^{- 1} )' = ( A' ) ^{- 1}

①ㄱ②ㄱ, ㄴ③ㄱ, ㄷ④ㄴ, ㄷ⑤ㄱ, ㄴ, ㄷ

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⑤

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해설

ㄱ. (A′)′=(acbd)′=(abcd)=A\displaystyle ( A' )' = \begin{pmatrix} a & c \\ b & d \end{pmatrix}' = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} = A (참) ㄴ. A+A′=(abcd)+(acbd)=(2ab+cb+c2d)\displaystyle A + A' = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} a & c \\ b & d \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 a & b + c \\ b + c & 2 d \end{pmatrix} (A+A′)′=(2ab+cb+c2d)=A+A′\displaystyle ( A + A' )' = \begin{pmatrix} 2 a & b + c \\ b + c & 2 d \end{pmatrix} = A + A' (참) ㄷ. (A−1)′={1ad−bc(d−c−ba)}′=1ad−bc(d−c−ba)\displaystyle ( A ^{- 1} )' = \left\{ \begin{array}{ll} \frac{1}{ad - bc} \begin{pmatrix} d & - c \\ - b & a \end{pmatrix} \end{array} \right\}' = \frac{1}{ad - bc} \begin{pmatrix} d & - c \\ - b & a \end{pmatrix} (A′)−1=(acbd)′=1ad−bc(d−c−ba)\displaystyle ( A' ) ^{- 1} = \begin{pmatrix} a & c \\ b & d \end{pmatrix}' = \frac{1}{ad - bc} \begin{pmatrix} d & - c \\ - b & a \end{pmatrix} ∴ (A−1)′=(A′)−1( A ^{- 1} )' = ( A' ) ^{- 1} (참)

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