점의 이동과 극한

자연수 $n$에 대하여 점 $P _{n}$이 $x$축 위의 점일 때, 점 $P _{n + 1}$을 다음 규칙에 따라 정한다.

㈎ 점 $P _{1}$의 좌표는 $\left( a _{1} , 0 \right)$ ($0 < a _{1} < 2$)이다. ㈏ ⑴ 점 $P _{n}$을 지나고 $y$축에 평행한 직선이 직선 $y = - x + 2$와 만나는 점을 $A _{n}$이라 한다. ⑵ 점 $A _{n}$을 지나고 $x$축에 평행한 직선이 직선 $y = 4 x + 4$와 만나는 점을 $B _{n}$이라 한다. ⑶ 점 $B _{n}$을 지나고 $y$축에 평행한 직선이 $x$축과 만나는 점을 $C _{n}$이라 한다. ⑷ 점 $C _{n}$을 $y$축에 대하여 대칭이동한 점을 $P _{n + 1}$이라 한다.

점 $P _{n}$의 $x$좌표를 $a _{n}$이라 할 때, $\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {a _{n}}$의 값은? [4점] ①$\displaystyle \frac{2}{9}$②$\displaystyle \frac{1}{3}$③$\displaystyle \frac{4}{9}$④$\displaystyle \frac{5}{9}$⑤$\displaystyle \frac{2}{3}$