점의 이동 거리

$\displaystyle \frac{dx}{dt} = 4 ( - \sin t + \cos t )$, $\displaystyle \frac{dy}{dt} = - 2 \sin 2 t$이므로 곡선의 길이 $l$은 $\displaystyle l = \int _{0} ^{2\pi} \sqrt{\left( \frac{dx}{dt} \right) ^{2} + \left( \frac{dy}{dt} \right) ^{2}} dt$ $\displaystyle = \int _{0} ^{2\pi} \sqrt{16 ( 1 - \sin 2 t ) + 4 \sin ^{2} 2 t} dt$ $\displaystyle = \int _{0} ^{2\pi} 2 ( 2 - \sin 2 t ) dt$$= \left[ 4 t + \cos 2 t \right] _{0} ^{2\pi}$ $= 8 \pi + 1 - 1$$= 8 \pi$ $\therefore a ^{2} = 8 ^{2} = 64$