미적분Ⅱ수열의 극한수능 기출심화 문제 (4점 중반 이후, 킬러 직전)

점화식 수열의 극한

문제

수렴하는 무한수열 {an}\left\{ a _{n} \right\}에 대하여 a1=2a _{1} = 2, an+1=3n(2n+3)(2n−1)(2n+1)−2an\displaystyle a _{n + 1} = \frac{3 n ( 2 n + 3 )}{( 2 n - 1 ) ( 2 n + 1 )} - 2 a _{n}(n=1n = 1, 22, 33,⋯\cdots ) 이 성립할 때, lim⁡n→∞an=α\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {} a _{n} = \alpha이다. 30α30 \alpha의 값을 구하시오. [4점]

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15

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해설

lim⁡n→∞an+1=lim⁡n→∞{3n(2n+3)(2n−1)(2n+1)−2an}\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {} a _{n + 1} = \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {} \left\{ \frac{3 n ( 2 n + 3 )}{( 2 n - 1 ) ( 2 n + 1 )} - 2 a _{n} \right\} =lim⁡n→∞3n(2n+3)(2n−1)(2n+1)−lim⁡n→∞2an\displaystyle = \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {} \frac{3 n ( 2 n + 3 )}{( 2 n - 1 ) ( 2 n + 1 )} - \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {} 2 a _{n} 그런데 lim⁡n→∞an+1=lim⁡n→∞an\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {} a _{n + 1} = \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {} a _{n}이므로 α=32−2α\displaystyle \alpha = \frac{3}{2} - 2 \alpha에서 α=12\displaystyle \alpha = \frac{1}{2} ∴ 30α=1530 \alpha = 15 <다른풀이> a1=2a _{1} = 2, a2=1=33\displaystyle a _{2} = 1 = \frac{3}{3}, a3=45\displaystyle a _{3} = \frac{4}{5}, a4=57\displaystyle a _{4} = \frac{5}{7}, ⋯\cdots 이므로 an=n+12n−1\displaystyle a _{n} = \frac{n + 1}{2 n - 1}임을 알 수 있다. 따라서 α=lim⁡n→∞an=lim⁡n→∞n+12n−1=12\displaystyle \alpha = \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {} a _{n} = \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {} \frac{n + 1}{2 n - 1} = \frac{1}{2}에서 30α=1530 \alpha = 15이다.

태그

#점화식#수열의 극한#귀납적 추론

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