미적분Ⅱ수열의 극한수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

점화식 수열 보기

문제

a1=1a _{1} = 1, 2an+1+an=22 a _{n + 1} + a _{n} = 2 (단, n=1n = 1, 22, 33, ⋯\cdots)를 만족시키는 수열 {an}\left\{ a _{n} \right\}에 대하여 <보기>에서 옳은 것을 모두 고르면? [4점]

보 기
ㄱ. 수열 {an−23}\displaystyle \left\{ a _{n} - \frac{2}{3} \right\}는 공비가 −12\displaystyle - \frac{1}{2}인 등비수열이다. ㄴ. lim⁡n→∞an\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {a _{n}}은 수렴한다. ㄷ. ∑n=1∞an\displaystyle \sum\limits _{n = 1} ^{\infty} a _{n}은 수렴한다.

①ㄱ②ㄷ③ㄱ, ㄴ④ㄴ, ㄷ⑤ㄱ, ㄴ, ㄷ

정답 보기
③

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해설

ㄱ. 2an+1+an=22 a _{n+1} + a _{n} = 2는 2(an+1−23)=−(an−23)\displaystyle 2 \left( a _{n+1} - \frac{2}{3} \right) = - \left( a _{n} - \frac{2}{3} \right)이므로 수열 {an−23}\displaystyle \left\{ a _{n} - \frac{2}{3} \right\}는 첫째항이 13\displaystyle \frac{1}{3}, 공비는 −12\displaystyle - \frac{1}{2}인 등비수열이다. (참) ㄴ. an−23=13(−12)n−1\displaystyle a _{n} - \frac{2}{3} = \frac{1}{3} \left( - \frac{1}{2} \right) ^{n-1}, an=13(−12)n−1+23\displaystyle a _{n} = \frac{1}{3} \left( - \frac{1}{2} \right) ^{n-1} + \frac{2}{3} ∴ lim⁡n→∞an=lim⁡n→∞{13(−12)n−1+23}=23\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} a _{n} = \lim\limits _{n \rightarrow \infty} \left\{ \frac{1}{3} \left( - \frac{1}{2} \right) ^{n-1} + \frac{2}{3} \right\} = \frac{2}{3} (참) ㄷ. lim⁡n→∞an≠0\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} a _{n} \ne 0이므로 ∑n=1∞an\displaystyle \sum\limits _{n = 1} ^{\infty} a _{n}은 발산한다. (거짓)

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