미적분Ⅱ수열의 극한수능 기출기본 문제 (3점 중반)

점화식 극한

문제

수열 {an}\left\{ a _{n} \right\}이 {a1=14an+1=an+1n2+2n(n=1,2,3,⋯ )\displaystyle \begin{cases} a _{1} = \frac{1}{4} \\ a _{n + 1} = a _{n} + \frac{1}{n ^{2} + 2 n} ( n = 1 , 2 , 3 , \cdots ) \end{cases} 으로 정의될 때, lim⁡n→∞an\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {a _{n}}의 값은? [3점] ①12\displaystyle \frac{1}{2}②34\displaystyle \frac{3}{4}③11④54\displaystyle \frac{5}{4}⑤32\displaystyle \frac{3}{2}

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③

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해설

a1=14,an+1−an=1n(n+2)\displaystyle a _{1} = \frac{1}{4} , a _{n + 1} - a _{n} = \frac{1}{n ( n + 2 )}=12(1n−1n+2)\displaystyle = \frac{1}{2} \left( \frac{1}{n} - \frac{1}{n + 2} \right)이므로 an=14+∑k=1n−112(1k−1k+2)\displaystyle a _{n} = \frac{1}{4} + \sum\limits _{k = 1} ^{n - 1} \frac{1}{2} \left( \frac{1}{k} - \frac{1}{k + 2} \right)=1−12(1n+1n+1)\displaystyle = 1 - \frac{1}{2} \left( \frac{1}{n} + \frac{1}{n + 1} \right) lim⁡n→∞an\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {a _{n}}=1= 1

태그

#부분분수#점화식

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