점화식 다항함수 성질

다항함수 $f ( x )$가 $f _{0} ( x ) = 1$, $f _{1} ( x ) = x$, $f _{n+1} ( x ) = x f _{n} ( x ) + f _{n-1} ( x )$ ($n$은 자연수) 을 만족하므로, $x = 0$을 대입하면 $f _{0} ( 0 ) = 1$, $f _{1} ( 0 ) = 0$ 이 때, $n = 1$을 대입하면, $f _{2} ( 0 ) = 0 \cdot f _{1} ( 0 ) + f _{0} ( 0 ) = 1$ 같은 방법으로, $f _{3} ( 0 ) = 0 \cdot f _{2} ( 0 ) + f _{1} ( 0 ) = 0$ ⋮ 따라서 짝수 번째항은 $1$, 홀수 번째 항은 $0$, 즉, $f _{2 n - 1} ( 0 ) = 0 , f _{2 n} ( 0 ) = 1$이다. 또한, $f _{0} ( x )$는 우함수이고, $f _{1} ( x )$는 기함수이므로 $f _{2} ( x ) = x f _{1} ( x ) + f _{0} ( x )$는 우함수이다. (기함수⋅기함수=우함수, 우함수+우함수=우함수) 같은 방법으로 $f _{3} ( x ) = x f _{2} ( x ) + f _{1} ( x )$는 기함수이다. 즉, 홀수 번째 항은 모두 기함수이고, 짝수 번째항은 모두 우함수이다. 따라서, $f _{2 n - 1} ( x ) : \text{기함수} , f _{2 n} ( x ) : \text{우함수}$ 한편, $f _{2} ( x ) = x f _{1} ( x ) + f _{0} ( x )$에서 $f _{1} ( x )$이 $1$차이므로 $f _{2} ( x )$의 차수는 $2$차이다. 같은 방법으로 $f _{3} ( x ) = x f _{2} ( x ) + f _{1} ( x )$에서 $f _{2} ( x )$이 $2$차이므로 $f _{3} ( x )$의 차수는 $3$차이다. 즉, $f _{n} ( x )$은 $n$차 다항식이다. 이 때, $f _{2n-1} ( x )$은 $2 n - 1$차 다항식이고, 기함수이므로, 항 중에 짝수차 항이 없으므로, $0 , 1 , 2 , 3 , \cdots , 2 n - 1$ 중 짝수를 뺀 $1 , 3 , 5 , \cdots , 2 n - 1$ 은 모두 $n$개의 홀수이므로 $f _{2n-1} ( x )$은 $n$개의 항을 갖는 다항식이다. 하지만, $f _{2n} ( x )$은 모두 $2 n + 1$개의 항 중에 $0 , 1 , 2 , 3 , 4 , \cdots , 2 n - 1 , 2 n$ 짝수차수를 갖는 항은 $0 , 2 , 4 , 6 , \cdots , 2 n$으로 $0$부터이므로 모두 $n + 1$개이다.