대수수학적 귀납법수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

점화관계 최소 n

문제

수열 {an‘}\{ a _{n} ` \}의 점화 관계는 다음과 같다. a1=3a _{1} = 3 an+1=2an+7a _{n+1} = 2 a _{n} + 7 (n=1,2,3,⋯ )( n = 1 , 2 , 3 , \cdots ) 이때, an>2000a _{n} > 2000을 만족시키는 자연수 nn의 최소값은? [4점] ①99②1111③1313④1515⑤1717

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①

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해설

수열{an}\left\{ a _{n} \right\}은 첫째항이 3이고 계차가 공비 2인 등비수열이므로 an=3+a2−a1(2n−1−1)2−1\displaystyle a _{n} = 3 + \frac{a _{2} - a _{1} ( 2 ^{n-1} - 1 )}{2 - 1} =3+10(2n−1−1)=10⋅2n−1−7= 3 + {10 ( 2 ^{n-1} - 1 )} = 10 \cdot 2 ^{n-1} - 7 따라서 10⋅2n−1−7>200010 \cdot 2 ^{n-1} - 7 > 2000 2n−1>200.72 ^{n-1} > 200.7 28=2562 ^{8} = 256이므로 n−1≥8n - 1 \geq 8 ∴n≥9\therefore n \geq 9 따라서nn의 최소값은 9이다

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#이산수학#점화관계

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