점에 대한 대칭이동으로 겹치는 포물선

점 $( a , b )$ 에 대한 대칭이동은 $( x , y ) \rightarrow ( 2 a - x , 2 b - y )$ 이므로, 포물선의 꼭짓점은 상대 포물선의 꼭짓점으로 옮겨진다. $y = x ^{2} - 4 x + 7 = ( x - 2 ) ^{2} + 3$ 이므로 꼭짓점은 $( 2 , 3 )$ 이다. $y = - x ^{2} + 2 x + 1 = - ( x - 1 ) ^{2} + 2$ 이므로 꼭짓점은 $( 1 , 2 )$ 이다. 점 $( a , b )$ 는 두 꼭짓점 $( 2 , 3 )$ 과 $( 1 , 2 )$ 의 중점이므로 $\displaystyle a = \frac{2 + 1}{2} \frac{= 3}{2}$ $\displaystyle b = \frac{3 + 2}{2} \frac{= 5}{2}$ 따라서 $\displaystyle \frac{a + b = 3}{2} \frac{+ 5}{2} = 4$ [확인] $2 a = 3$, $2 b = 5$ 이므로 $y = x ^{2} - 4 x + 7$ 에 $x$ 대신 $3 - x$, $y$ 대신 $5 - y$ 를 대입하면 $5 - y = ( 3 - x ) ^{2} - 4 ( 3 - x ) + 7$ $5 - y = x ^{2} - 2 x + 4$ $y = - x ^{2} + 2 x + 1$ 이므로 두 곡선이 일치한다.