공통수학1행렬과 그 연산수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

점에 대응하는 행렬 보기

문제

좌표평면 위의 점 P(a,b){\mathrm{P} (} a , b )에 대하여 행렬 MPM _{\mathrm{P}}를 MP=(ab−ba)\displaystyle M _{\mathrm{P}} = \left( \begin{array}{ll} \begin{matrix} a & b \\ - b & a \end{matrix} \end{array} \right)로 정의하자. 임의의 두 점 P,Q\mathrm{P} , Q에 대하여 <보기>에서 옳은 것을 모두 고른 것은? (단, EE는 단위행렬이다.) [4점]

< 보 기 >
ㄱ. MPMQ=MRM _{\mathrm{P}} M _{\mathrm{Q}} = M _{\mathrm{R}}인 점 R\mathrm{R}가 존재한다. ㄴ. MPMQ=MQMPM _{\mathrm{P}} M _{\mathrm{Q}} = M _{\mathrm{Q}} M _{\mathrm{P}} ㄷ. 점P\mathrm{P}가 원점이 아니면 MPMS=EM _{\mathrm{P}} M _{\mathrm{S}} = E인 점S\mathrm{S}가 존재한다.

①ㄱ②ㄴ③ㄱ, ㄴ④ㄴ, ㄷ⑤ㄱ, ㄴ, ㄷ

정답 보기
⑤

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해설

[출제의도] 행렬의 성질을 이용하여 문제를 해결할 수 있는가를 묻는 문제이다. 임의의 두 점을 P(a,b),Q(c,d){\mathrm{P}} ( a , b ) , {\mathrm{Q}} ( c , d )라 하면, MP=(ab−ba)\displaystyle M _{\mathrm{P}} = \left( \begin{array}{ll} \begin{matrix} a & b \\ - b & a \end{matrix} \end{array} \right), MQ=(cd−dc)\displaystyle M _{\mathrm{Q}} = \left( \begin{array}{ll} \begin{matrix} c & d \\ - d & c \end{matrix} \end{array} \right) ㄱ. MPMQ=(ab−ba)(cd−dc)=(ac−bdad+bc−ad−bcac−bd)\displaystyle M _{\mathrm{P}} M _{\mathrm{Q}} = \left( \begin{array}{ll} \begin{matrix} a & b \\ - b & a \end{matrix} \end{array} \right) \left( \begin{array}{ll} \begin{matrix} c & d \\ - d & c \end{matrix} \end{array} \right) = \left( \begin{array}{ll} \begin{matrix} ac - bd & ad + bc \\ - ad - bc & ac - bd \end{matrix} \end{array} \right)에 대응하는 점 R\mathrm{R}(ac−bd,ad+bc)( ac - bd , ad + bc )가 존재한다. (참) ㄴ. MQMP=(cd−dc)(ab−ba)=(ac−bdad+bc−ad−bcac−bd)\displaystyle M _{\mathrm{Q}} M _{\mathrm{P}} = \left( \begin{array}{ll} \begin{matrix} c & d \\ - d & c \end{matrix} \end{array} \right) \left( \begin{array}{ll} \begin{matrix} a & b \\ - b & a \end{matrix} \end{array} \right) = \left( \begin{array}{ll} \begin{matrix} ac - bd & ad + bc \\ - ad - bc & ac - bd \end{matrix} \end{array} \right) ∴ MPMQ=MQMPM _{\mathrm{P}} M _{\mathrm{Q}} = M _{\mathrm{Q}} M _{\mathrm{P}} (참) ㄷ. 점 P\mathrm{P}가 원점이 아니면 a2+b2≠0a ^{2} + b ^{2} \ne 0이므로 (ab−ba)−1=1a2+b2(a−bba)\displaystyle \left( \begin{array}{ll} \begin{matrix} a & b \\ - b & a \end{matrix} \end{array} \right) ^{-1} = \frac{1}{a ^{2} + b ^{2}} \left( \begin{array}{ll} \begin{matrix} a & - b \\ b & a \end{matrix} \end{array} \right) 따라서 MPMS=EM _{\mathrm{P}} M _{\mathrm{S}} = E인 점 S(aa2+b2,−ba2+b2)\displaystyle \mathrm{S} \mathit{\left( \frac{a}{a ^{2} + b ^{2}} , - \frac{b}{a ^{2} + b ^{2}} \right)}가 존재한다. (참)

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