점 연결 도형 개수

[출제의도] 피타고라스 정리를 이용하여 조건을 만족시키는 경우의 수를 구한다. 두 점을 연결하여 만든 도형의 길이가 $\displaystyle \sqrt{5}$인 경우는 그림과 같이 한 변의 길이가 $2$인 정사각형에서 한 꼭짓점과 그 점을 포함하지 않는 변의 중점을 연결한 경우뿐이다.

이때 하나의 점을 더 연결하여 만든 도형의 길이가 $\displaystyle \sqrt{2} + \sqrt{5}$가 되기 위해서는 그림과 같이 선분의 길이가 $\displaystyle \sqrt{5}$인 선분의 양 끝점 중 하나와 한 변의 길이가 $1$인 정사각형의 대각선을 이룰 수 있는 점을 찾아야 한다.

ⅰ) 한 변의 길이가 $2$인 정사각형의 각 꼭짓점이 두 선분의 교점인 경우 교점에서 길이가 $\displaystyle \sqrt{2}$인 선분을 만들 수 있는 점은 하나뿐이므로 길이가 $\displaystyle \sqrt{5}$인 선분을 그릴 수 있는 경우는 그림과 같이 $2$가지다.

한 변의 길이가 $2$인 정사각형의 꼭짓점은 $4$개이므로 가능한 경우의 수는 $2 \times 4 = 8$이다. ⅱ) 한 변의 길이가 $2$인 정사각형의 각 변의 중점이 두 선분의 교점인 경우 교점에서 길이가 $\displaystyle \sqrt{2}$, $\displaystyle \sqrt{5}$인 선분을 만들 수 있는 경우는 각각 두 가지씩이므로 그림과 같이 $4$가지 경우가 있다.

한 변의 길이가 $2$인 정사각형의 변의 중점은 $4$개이므로 가능한 경우의 수는 $4 \times 4 = 16$이다. ⅰ), ⅱ)에서 구하는 모든 도형의 개수는 $8 + 16 = 24$이다. [다른풀이] $\displaystyle \sqrt{2} + \sqrt{5} = \sqrt{5} + \sqrt{2}$이므로 먼저 두 점을 연결하여 길이가 $\displaystyle \sqrt{2}$인 도형을 만든 경우를 생각하자. 두 점을 연결한 도형의 길이가 $\displaystyle \sqrt{2}$인 도형은 그림과 같이 정중앙에 있는 점이 다른 한 점과 연결되어 있는 경우와 정중앙에 있지 않는 $8$개의 점들 중에서 $2$개의 점이 연결된 경우로 나눌 수 있다.

ⅰ) 정중앙에 있는 점과 다른 한 점을 연결하여 길이가 $\displaystyle \sqrt{2}$인 도형을 만든 경우는 $4$가지다. 정중앙에 있는 점과 나머지 다른 점을 연결하여 길이가 $\displaystyle \sqrt{5}$인 도형을 만들 수 없고, 나머지 $8$개의 점들 중 $2$개의 점을 연결하여 길이가 $\displaystyle \sqrt{5}$인 도형을 만들 수 있다. 따라서 이 경우 그림과 같이 길이가 $\displaystyle \sqrt{2}$인 도형에 다른 한 점을 더 연결하여 길이가 $\displaystyle \sqrt{2} + \sqrt{5}$인 도형을 만드는 방법은 각각 $2$가지다.

따라서 구하는 도형의 개수는 $4 \times 2 = 8$이다. ⅱ) 정중앙에 있지 않는 $8$개의 점 중 $2$개의 점을 연결하여 길이가 $\displaystyle \sqrt{2}$인 도형을 만든 경우는 $4$가지다. 이 두 점과 나머지 다른 점을 연결하여 $\displaystyle \sqrt{5}$인 선분을 각각 $2$개씩 만들 수 있다. 따라서 이 경우 길이가 $\displaystyle \sqrt{2}$인 도형에 다른 한 점을 더 연결하여 길이가 $\displaystyle \sqrt{2} + \sqrt{5}$인 도형을 만드는 방법은 $4$가지다.

따라서 구하는 도형의 개수는 $4 \times 4 = 16$이다. ⅰ), ⅱ)에서 구하는 모든 도형의 개수는 $8 + 16 = 24$이다. [다른풀이] 세 점을 연결하여 길이가 $\displaystyle \sqrt{2} + \sqrt{5}$인 도형을 만드는 경우는 그림과 같이 이웃하는 변의 길이가 각각 $1$, $2$인 직사각형에서 길이가 $2$인 변의 중점과 직사각형의 꼭짓점을 연결하는 경우와 한 변의 길이가 $2$인 정사각형의 한 꼭짓점과 두 변의 중점을 연결하는 경우에서 살펴볼 수 있다.

ⅰ) 이웃하는 변의 길이가 각각 $1$, $2$인 직사각형을 이루는 점으로 도형을 만든 경우 한 직사각형을 이루는 $6$개의 점들 중 세 점을 연결하여 길이가 $\displaystyle \sqrt{2} + \sqrt{5}$인 도형을 만들 수 있는 경우는 다음과 같이 $4$가지다.

이때 주어진 $9$개의 점으로 이웃하는 변의 길이가 각각 $1$, $2$인 직사각형 모양을 만들 수 있는 경우는 $4$가지다. 따라서 만들 수 있는 도형의 개수는 $4 \times 4 = 16$이다. ⅱ) 한 변의 길이가 $2$인 정사각형을 이루는 점으로 도형을 만드는 경우 정사각형을 이루는 $8$개의 점들 중 세 점을 연결하여 길이가 $\displaystyle \sqrt{2} + \sqrt{5}$인 도형 중 선분의 교점이 정사각형의 한 변 위에 놓이는 경우는 그림과 같이 $2$가지다.

이때 도형을 이루는 두 선분의 교점이 될 수 있는 경우는 $4$가지다. 따라서 만들 수 있는 도형의 개수는 $2 \times 4 = 8$이다. ⅰ), ⅱ)에서 구하는 모든 도형의 개수는 $16 + 8 = 24$이다. [보충설명] 세 점을 연결하여 만든 도형의 길이가 $\displaystyle \sqrt{2} + \sqrt{5}$인 도형을 모두 그리면 그림과 같다.