점 이동과 정규근사

한 개의 주사위를 던지는 시행을 $16200$번 반복할 때 $4$이하의 눈이 나오는 횟수를 확률변수 $X$라 하면 $4$이하의 눈이 나올 확률은 $\displaystyle \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$이므로 확률변수$X$는 이항분포 $\displaystyle \mathrm{B} \left( 16200 , \frac{2}{3} \right)$을 따른다. $\displaystyle \mathrm{E} \left( \mathit{X} \right) = 16200 \times \frac{2}{3} = 10800$ $\displaystyle \mathrm{V} \left( \mathit{X} \right) = 16200 \times \frac{2}{3} \times \left( 1 - \frac{2}{3} \right) = 60 ^{2}$ 이때 $n = 16200$은 충분히 큰 수이므로 확률변수 $X$는 근사적으로 정규분포 $\mathrm{N} \left( 10800 , 60 ^{2} \right)$을 따르고, $\displaystyle Z = \frac{X - 10800}{60}$으로 놓으면 확률변수 $Z$는 표준정규분포 $\mathrm{N} \left( 0 , 1 \right)$을 따른다. 이때 점 $\mathrm{A}$의 위치가 $5700$이하가 되려면 $4$이하의 눈이 나오는 횟수 $X$는 $X - \left( 16200 - X \right) \leq 5700$, $X \leq 10950$ 따라서 점 $\mathrm{A}$의 위치가 $5700$이하일 확률은 $\therefore$ $\mathrm{P} \left( \mathit{X} \leq 10950 \right)$$\displaystyle = \mathrm{P} \left( \mathit{Z} \leq \frac{10950 - 10800}{60} \right)$ $= \mathrm{P} \left( \mathit{Z} \leq 2.5 \right)$ $= 0.5 + \mathrm{P} \left( \mathit{0} \leq Z \leq 2.5 \right)$ $= 0.5 + 0.494$$= 0.994$ $k = 0.994$이므로 $1000 \times k = 1000 \times 0.994 = 994$