미적분Ⅱ수열의 극한수능 기출심화 문제 (4점 중반 이후, 킬러 직전)

점 이동 수열 극한

문제

좌표평면에서 점 A1A _{1}의 좌표가 (1,0)( 1 , 0 )일 때, 모든 자연수 nn에 대하여 점 An+1A _{n+1}을 다음 규칙에 따라 정한다.

(가) 점 AnA _{n}을 xx축의 방향으로 nn만큼 평행이동시킨 점을 BnB _{n}이라 한다. (나) 점 BnB _{n}에서 기울기가 22이고 점 AnA _{n}을 지나는 직선에 내린 수선의 발을 CnC _{n}이라 한다. (다) 점 CnC _{n}에서 xx축에 내린 수선의 발을 An+1A _{n+1}이라 한다.

점 AnA _{n}의 xx좌표를 ana _{n}이라 할 때, lim⁡n→∞ann2\displaystyle \lim\limits _{n\rightarrow \infty} \frac{a _{n}}{n ^{2}}의 값은? [4점]

①110\displaystyle \frac{1}{10}②15\displaystyle \frac{1}{5}③310\displaystyle \frac{3}{10}④25\displaystyle \frac{2}{5}⑤12\displaystyle \frac{1}{2}

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①

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해설

직선 AnCnA _{n} C _{n}의 기울기가 22이고, △AnAn+1Cn\triangle A _{n} A _{n+1} C _{n}과 △AnCnBn\triangle A _{n} C _{n} B _{n}이 닮음이므로 AnAn+1‾:AnCn‾:AnBn‾=1:5:5\displaystyle \overline{A _{n} A _{n+1}} : \overline{A _{n} C _{n}} : \overline{A _{n} B _{n}} = 1 : \sqrt{5} : 5의 비를 갖는다. 따라서 AnBn‾=n\displaystyle \overline{A _{n} B _{n}} = n이므로 AnAn+1‾=15n\displaystyle \overline{A _{n} A _{n+1}} = \frac{1}{5} n이다. ∴an+1=an+15n\displaystyle \therefore a _{n+1} = a _{n} + \frac{1}{5} n, a1=1a _{1} = 1 ∴an=1+∑k=1n−115n=110(n2−n+10)\displaystyle \therefore a _{n} = 1 + \sum\limits _{k=1} ^{n-1} \frac{1}{5} n = \frac{1}{10} ( n ^{2} - n + 10 ) ∴lim⁡n→∞ann2=110\displaystyle \therefore \lim\limits _{n\rightarrow \infty} \frac{a _{n}}{n ^{2}} = \frac{1}{10}

태그

#점화식#수열의 극한

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