절편이 자연수인 직선의 개수

$x$절편을 $a$, $y$절편을 $b$라 하면 직선의 방정식은 $\displaystyle \frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1$ 점 $\left( 2 , 3 \right)$을 지나므로 $\displaystyle \frac{2}{a} + \frac{3}{b} = 1$ 양변에 $ab$를 곱하면 $2 b + 3 a = ab$ $ab - 3 a - 2 b = 0$, $\left( a - 2 \right) \left( b - 3 \right) = 6$ $a$, $b$가 자연수이므로 $a - 2 \geq - 1$, $b - 3 \geq - 2$ $a - 2 = - 1$이면 $b - 3 = - 6$, 즉 $b = - 3$이 되어 자연수가 아니므로 $a - 2 > 0$, $b - 3 > 0$ 따라서 $\left( a - 2 , b - 3 \right)$는 $\left( 1 , 6 \right)$, $\left( 2 , 3 \right)$, $\left( 3 , 2 \right)$, $\left( 6 , 1 \right)$ 즉 $\left( a , b \right)$는 $\left( 3 , 9 \right)$, $\left( 4 , 6 \right)$, $\left( 5 , 5 \right)$, $\left( 8 , 4 \right)$ 따라서 직선의 개수는 $4$ ③