대수등차수열과 등비수열수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

절편과 조화수열

문제

그림과 같이 점 ${\mathrm{P}} ( 2 , 1 )$ 을 지나는 세 직선 $l _{1}$ , $l _{2}$ , $l _{3}$ 의 $x$ 절편을 각각 $a _{1}$ , $a _{2}$ , $a _{3}$ 이라 하고, $y$ 절편을 각각 $b _{1}$ , $b _{2}$ , $b _{3}$ 이라 하자.

세 수 $\displaystyle \frac{1}{b _{1}}$ , $\displaystyle \frac{1}{b _{2}}$ , $\displaystyle \frac{1}{b _{3}}$ 이 이 순서로 등차수열을 이룰 때, 세 수 $a _{1}$ , $a _{2}$ , $a _{3}$ 사이의 관계로 항상 옳은 것은? [4점] ① $a _{1} + a _{2} = a _{3}$ ② $a _{1} + a _{3} = 2 a _{2}$ ③ $a _{1} a _{3} = a _{2} ^{2}$ ④ $2 a _{1} a _{2} = a _{2} a _{3} + a _{3} a _{1}$ ⑤ $\displaystyle \frac{2}{a _{2}} = \frac{1}{a _{1}} + \frac{1}{a _{3}}$

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⑤

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해설

[출제의도] 직선의 방정식과 등차수열에 관련된 문제를 해결할 수 있는가를 묻는 문제이다. $\displaystyle l _{1} : \frac{x}{a _{1}} + \frac{y}{b _{1}} = 1$ , $\displaystyle l _{2} : \frac{x}{a _{2}} + \frac{y}{b _{2}} = 1$ , $\displaystyle l _{3} : \frac{x}{a _{3}} + \frac{y}{b _{3}} = 1$ 에서 세 직선이 점 $( 2 , 1 )$ 을 지나므로 $\displaystyle \frac{1}{b _{1}} = 1 - \frac{2}{a _{1}}$ , $\displaystyle \frac{1}{b _{2}} = 1 - \frac{2}{a _{2}}$ , $\displaystyle \frac{1}{b _{3}} = 1 - \frac{2}{a _{3}}$ 이때 $\displaystyle \frac{1}{b _{1}} , \frac{1}{b _{2}} , \frac{1}{b _{3}}$ 가 등차수열을 이루므로 $\displaystyle \frac{1}{b _{2}} - \frac{1}{b _{1}} = \frac{1}{b _{3}} - \frac{1}{b _{2}}$ ∴ $\displaystyle \frac{2}{a _{2}} = \frac{1}{a _{1}} + \frac{1}{a _{3}}$

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