절편과 ab 최솟값

[출제의도] 산술평균과 기하평균의 대소관계를 이용하여 식의 최솟값을 구할 수 있는가를 묻는 문제이다. 직선 $\displaystyle \frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1$이 ${\mathrm{A}} \mathit{(} 2 , 3 )$을 지나므로 $\displaystyle \frac{2}{a} + \frac{3}{b} = 1$ $a > 0$, $b > 0$ 이므로 $\displaystyle \frac{\frac{2}{a} + \frac{3}{b}}{2} \geq \sqrt{\frac{6}{a b}}$ 양변을 제곱하여 정리하면 $a b \geq 2 4$ (단, 등호가 성립하는 경우는 $a = 4$, $b = 6$ 일 때이다.) ∴ $a b$ 의 최솟값은 $24$