공통수학1행렬과 그 연산수능 기출기본 문제 (3점 중반)

절편 행렬 방정식

문제

[13 ~ 14] 자연수 n{n}에 대하여 좌표평면에서 직선 x3+y4=(34)n\displaystyle {\frac{x}{3} + \frac{y}{4} = \left( \frac{3}{4} \right) ^{n}} 을 lnl _{n}이라 하자. 13번과 14번의 두 물음에 답하시오.

n=5n = 5일 때 직선 l5l _{5}의 xx절편을 α\alpha, yy절편을 β\beta라 하자. 두 행렬 A=(340034)\displaystyle A = {\begin{pmatrix} \frac{3}{4} & 0 \\ 0 & \frac{3}{4} \end{pmatrix}}, P=(α00β)\displaystyle P = {\begin{pmatrix} \alpha & 0 \\ 0 & \beta \end{pmatrix}} 에 대하여 등식 P=A5BP = A ^{5} B를 만족시키는 행렬 BB의 모든 성분의 합은? [3점] ①33②44③55④66⑤77

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⑤

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해설

[출제의도] 행렬의 거듭제곱과 역행렬의 성질을 이해한다. 직선 l5l _{5}의 xx절편과 yy절편이 각각 3(34)5\displaystyle 3 \left( \frac{3}{4} \right) ^{5}, 4(34)5\displaystyle 4 \left( \frac{3}{4} \right) ^{5}이므로 P=(3(34)5004(34)5)\displaystyle P = {\begin{pmatrix} 3 \left( \frac{3}{4} \right) ^{5} & 0 \\ 0 & 4 \left( \frac{3}{4} \right) ^{5} \end{pmatrix}} A=(340034)\displaystyle A = {\begin{pmatrix} \frac{3}{4} & 0 \\ 0 & \frac{3}{4} \end{pmatrix}}에서 A5=((34)500(34)5)\displaystyle A ^{5} = {\begin{pmatrix} \left( \frac{3}{4} \right) ^{5} & 0 \\ 0 & \left( \frac{3}{4} \right) ^{5} \end{pmatrix}}이고 (A5)−1=((43)500(43)5)\displaystyle \left( A ^{5} \right) ^{- 1} = {\begin{pmatrix} \left( \frac{4}{3} \right) ^{5} & 0 \\ 0 & \left( \frac{4}{3} \right) ^{5} \end{pmatrix}} P=A5BP = A ^{5} B에서 B=(A5)−1PB = \left( A ^{5} \right) ^{- 1} P=((43)500(43)5)(3(34)5004(34)5)\displaystyle = {\begin{pmatrix} \left( \frac{4}{3} \right) ^{5} & 0 \\ 0 & \left( \frac{4}{3} \right) ^{5} \end{pmatrix}} {\begin{pmatrix} 3 \left( \frac{3}{4} \right) ^{5} & 0 \\ 0 & 4 \left( \frac{3}{4} \right) ^{5} \end{pmatrix}}=(3004)\displaystyle = {\begin{pmatrix} 3 & 0 \\ 0 & 4 \end{pmatrix}} 따라서 행렬 BB의 모든 성분의 합은 77이다.

태그

#역행렬#직선의 절편

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