절댓값 로그 곡선

$\displaystyle \mathrm{\overline{OC}} = {\overline{CA}} = {\overline{AB}}$이므로 점 $\mathrm{A}$의 좌표는 $( k , k )$이고 점 $\mathrm{B}$의 좌표는 $( 2 k , k )$이다. 점 $\mathrm{A}$는 곡선 $y = \mathit{-} \log _{a} x$ 위의 점이므로 $k = \mathit{-} \log _{a} k$ $\cdots \cdots$ ㉠ 점 $\mathrm{B}$는 곡선 $y = \log _{a} x$ 위의 점이므로 $k = \log _{a} 2 k$ $\cdots \cdots$ ㉡ ㉠과 ㉡을 연립하면 $\log _{a} 2 k ^{2} = 0$에서 $2 k ^{2} = 1$이므로 $\displaystyle k = \frac{\sqrt{2}}{2}$ 곡선 $y = \left| \log _{a} x \right|$와 직선 $\displaystyle y = 2 \sqrt{2}$가 만나는 두 점의 $x$좌표를 각각 $\alpha , \beta ( \alpha < \beta )$라 하면 $\displaystyle - \log _{a} \alpha = 2 \sqrt{2}$에서 $\displaystyle \alpha = a ^{- 2 \sqrt{2}}$ $\displaystyle \log _{a} \beta = 2 \sqrt{2}$에서 $\displaystyle \beta = a ^{2 \sqrt{2}}$ ㉡에서 $a ^{k} = 2 k$이므로 $\displaystyle a = \left( \sqrt{2} \right) ^{\sqrt{2}} = 2 ^{\frac{\sqrt{2}}{2}}$ $d$$= \beta - \alpha$ $\displaystyle = a ^{2 \sqrt{2}} - a ^{- 2 \sqrt{2}}$ $\displaystyle = \left( 2 ^{\frac{\sqrt{2}}{2}} \right) ^{2 \sqrt{2}} - \left( 2 ^{\frac{\sqrt{2}}{2}} \right) ^{- 2 \sqrt{2}}$ $= 2 ^{2} - 2 ^{- 2}$$\displaystyle = \frac{15}{4}$ 따라서 $\displaystyle 20 d = 20 \times \frac{15}{4} = 75$